Zmienna losowa X ma gęstość. Oblicz.....

[amizu]

Witam,

Zadanie:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}ax-1, \qquad x\in(2;4)\\0, \qquad x\not\in \(2;4)\end{cases}}\)

wyznaczyć:

1) parametr a
2) \(\displaystyle{ E(X)}\)
3) \(\displaystyle{ D^{2}(X)}\)
4) \(\displaystyle{ P(X\in[1;3])}\)

ad 1
Sprawdzamy dla jakich a spełnia nierówność \(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx= \frac{a x^{2} }{2}+x |^{4}_{2} dx=8a+4-2a-2=6a+2}\)
\(\displaystyle{ 6a+2=1}\) czyli
\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{6}}\)

trzeba chyba jeszcze sprawdzić czy funkcja \(\displaystyle{ f(x)>0 dla x\in R}\). Jak to zrobić ?
Licząc \(\displaystyle{ - \frac{1}{6}x-1>0 => x<-6}\)

ad 2
dystrybuanta

\(\displaystyle{ F(X)= \int_{1}^{ x_{0}} - \frac{1}{6}x -1 dx = - \frac{ x^{2} }{12} -x |^{x _{0} }_{1} =- \frac{x^{2}_{0}}{12} - x_{0}+ \frac{13}{12}}\)


wartość oczekiwana

\(\displaystyle{ E(X)= \int_{2}^{4} x( -\frac{1}{6}x -1) dx= \int_{2}^{4}- \frac{1}{6} x^{2} -x dx = -\frac{ x^{3} }{18} - \frac{ x^{2} }{2} |^{4}_{2} = -\frac{64}{18} -\frac{16}{2} +\frac{8}{18} + \frac{4}{2}=- \frac{164}{18}}\)
nie wiem czy dobrze że wartość oczekiwana jest ujemna ;/


ad 3
\(\displaystyle{ D^{2}(X)= \int_{-\infty}^{\infty}(x E(X))^{2}f(x) dx}\)

ad 4
\(\displaystyle{ P(1<X<3)=F(X=3)-F(X=1)=- \frac{9}{12}-3+ \frac{13}{12} + \frac{1}{12} + 1 - \frac{13}{12} = - \frac{16}{6}}\)


Proszę o pomoc ;/

[leapi]

sposób właściwy, widzę bład w znaku przy obliczeniu całki zamieniasz \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +}\)
stąd \(\displaystyle{ E(x)}\) wychodzi ci ujemny:)
-- 29 maja 2012, o 16:12 --

\(\displaystyle{ D^2=E(x^2)-\left( E (x)\right)^2}\)

z tego będziesz ci może lepiej
\(\displaystyle{ E(x)=\int x f(x)}\)

\(\displaystyle{ E(x^2)=\int x^2 f(x)}\)

[amizu]

Dziękuję za wzór na \(\displaystyle{ D^{2}(X)}\)
Zaraz to sobie policze.


Ale przy \(\displaystyle{ E(X)}\) zmienia się znak ;/ ... nie wiem gdzie tam jest błąd

I jeszcze przy obliczaniu parametru a. Dobrze jest zapisane wszytko ?

[leapi]

masz tak
\(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx= \frac{a x^{2} }{2}+x |^{4}_{2} dx=8a+4-2a-2=6a+2=1}\)

winno być
\(\displaystyle{ \int_{2}^{4} (ax-1)dx= \frac{a x^{2} }{2}-x |^{4}_{2} dx=8a-4-2a+2=6a-2=1}\)

[amizu]

O matko ;/
A ja wszystko przeliczałam po trzy razy tylko nie początek;/
Dziękuję za te uwagi i teraz wszystko jasne skąd te ujemne wyniki.

Co z tym podpunktem a ?
wystarczy tylko tyle co napisałam.?

Wykres funkcji f(x) to rozumiem będzie wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}x-1}\) z zadznaczonym przedziałem od 2 do 4 tak?

Męczy mnie jeszcze Dystrybuanta. Dobry przedział wzięłam ?
Czy ja dobrze myślę ze dystrybuanta w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty;2>}\) będzie miała wartość \(\displaystyle{ 0}\) a w przedziale \(\displaystyle{ <4;\infty)}\) wartość \(\displaystyle{ 1}\)

Trzeba policzyć w przedziale \(\displaystyle{ (2;4)}\)
\(\displaystyle{ F(X)= \int_{2}^{ x_{0} } \frac{1}{2} x-1 dx= \frac{ x_{0}^{2} }{4} - x_{0} +1}\)