Ciągi nizależne i gęstość

[Rostworowski]

Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_{n}\right\}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o wspólnym rozkładzie danym gęstością:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ : x \in (-\inf, 0) \cup (1, \inf)\\(k + 1)x^{k} : x \in [0,1]\end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ n \in N}\) oraz \(\displaystyle{ \ n > 0}\) określamy \(\displaystyle{ \ Z_{n} = \frac{1}{n^{2}}(X_{1}, \dots, X_{n})}\)

Które z poniższych zdań są fałszywe?

a)\(\displaystyle{ P(Z_{n} \ge 1) \le \frac{2}{n}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in n, n > 0}\)

b)\(\displaystyle{ P(|Z_{10} - \frac{k+1}{10(k+2)}| < \frac{1}{2}) \ge \frac{1}{2}}\)

c)\(\displaystyle{ \lim x \to \inf P(Z_{n} < 1) = 0}\)


Czy mógłby ktoś to rozwiązać i pokazać jak to rozwiązał? Dziękuję z góry za odpowiedź:)


PS. Czy ktoś możę powiedzieć, jak oszacowywać wartość oczekiwaną?

[norwimaj]

określamy \(\displaystyle{ \ Z_{n} = \frac{1}{n^{2}}(X_{1}, \dots, X_{n})}\)

Czyli \(\displaystyle{ Z_n}\) jest wektorem a nie liczbą? To jaki jest sens nierówności \(\displaystyle{ Z_{n} \ge 1}\)?