Łączna gęstość dwóch zmiennych losowych.

[Bartek1991]

Niech \(\displaystyle{ (X,Y)}\) mają łączną gęstość \(\displaystyle{ f(x,y)=1}\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \in (0,1) \times (0,1)}\) i \(\displaystyle{ 0}\) poza tym. Wyliczyć \(\displaystyle{ P(XY<z)}\).

Zadanie jest ogólnie proste, mamy bowiem:
\(\displaystyle{ P(XY<z) = P(X \in (0,1),Y< \frac{z}{X}) = \int_0^1 \int_0^{z/x} 1 dydx = \int_0^1 \frac{z}{ x}dx = z \int_0^1 \frac{1}{x}dx}\). No i tu się pojawia problem, bo nie istnieje \(\displaystyle{ \ln 1}\)... Co z tym fantem zrobić?

[Lorek]

Masz źle granice dla \(\displaystyle{ y}\) wyznaczone. U Ciebie \(\displaystyle{ y\in\left[0,\frac{z}{x}\right]}\), a \(\displaystyle{ \frac{z}{x}}\) może przyjmować dowolnie duże wartości, a jak wiemy \(\displaystyle{ y< 1}\), czyli wychodzisz poza zbiór z niezerową gęstością.

[Bartek1991]

To w takim razie jak wyznaczyć te granice?

[Lorek]

Wiesz, że \(\displaystyle{ y<\frac{z}{x}}\), ale i \(\displaystyle{ y<1}\) czyli łącznie daje nam to \(\displaystyle{ y<\min\{1,\frac{z}{x}\}}\). Trzeba więc wyznaczyć dla jakich \(\displaystyle{ x}\) górną granicą \(\displaystyle{ y}\) będzie \(\displaystyle{ 1}\), a dla jakich \(\displaystyle{ \frac{z}{x}}\).

[Bartek1991]

No tak, czyli granicą dla \(\displaystyle{ y}\) jest \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ x>z}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{z}{x}}\) gdy \(\displaystyle{ x \le z}\).

I jak to teraz uwzględnić przy obliczaniu prawdopodobieństwa?

[Lorek]

Chyba jednak na odwrót te przypadki, co nie? Jak to uwzględnić? Jako sumę dwóch całek, po jednej dla każdego przypadku.