Zmienna losowa(5 zad. +moje rozwiazania )

[rogal150]

Kolos z prawdopodobieństwa zbliż się dużymi krokami a jak mam coraz więcej wątpliwości co do swojego stanu wiedzy zadania będę pisał po kolei z moimi rozwiązaniami i pytaniami proszę o pomoc i sprawdzenie rozwiązania

Zad 1

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje trzy wartości \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) z jednakowymi p-stwami. Oblicz wariację zmiennej losowej

roz 1

na te zadanie mam taki pomysł le nie mam pojecia czy dobrze to jest zmienna skokowa ??
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline x _{i} & 0 & 1 & 3 \\ \hline p _{i} & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ \hline \end{tabular}}\)

i z wzoru na wariacje \(\displaystyle{ D^{2}X= EX^{2} - (EX)^{2}}\)
\(\displaystyle{ EX=0 \cdot \frac{1}{3} +1 \cdot \frac{1}{3} +3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ EX^{2}= 0^{2} \cdot \frac{1}{3}+ 1^{2} \cdot \frac{1}{3} + 3 ^{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{3}}\)
\(\displaystyle{ D^{2}X= \frac{10}{3} - ( \frac{4}{3} )^{2}= \frac{14}{9}}\)

Zad 2

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma dystrybuantę
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x \le 1 \\0,5 \ dla \ 1<x \le 2 \\ 0,7 \ dla \ 2<x \le 4 \\1 \ dla \ x > 4\end{cases}}\)
Oblicz wartość oczekiwaną

Roz
Rozumiem że jest to zmienna losowa skokowa ??
czyli robie tabelkę

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline x _{i} & 0 & 2 & 4 \\ \hline p _{i} & 0.5 & 0.2 & 0.3 \\ \hline \end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ EX=0 \cdot 0,5+2 \cdot 0,2+4 \cdot 0,3=1,6}\)

Zad 3

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje dwie wartości \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 5,}\) przy czym \(\displaystyle{ P(x=5)=0,3}\) . Napisz wzór dystrybuanty .

Roz

tego też nie jestem pewien znowu z tabeli i czy to jest dalej zmienna skokowa ?

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ dla \ x \le 0 \\ 0,7 \ dla \ 0<x \le 5\\ 1 \ dla \ x > 5 \end{cases}}\)

Zad 4
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x^{2} 0 \ dla \ x \langle 0,1 \rangle \\ \frac{1}{3} \ dla \ x \langle 2,4 \rangle \\0 \ dla \ \mbox{pozostałych} \end{cases}}\)

Jakim wzorem wyraża sie dystrybuanta w przedziale \(\displaystyle{ \langle 2,4 \rangle}\)??

Roz

licze z\(\displaystyle{ \int_{x}^{ -\infty }f(t)dt}\)
i teraz nie wiem czy mam liczyć tak
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{ -\infty }^{ 0}0dt+ \int_{0}^{1} t^{2} dt+ \int_{1}^{x} \frac{1}{3}dt=}\)
czy tak
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{ -\infty }^{ 0}0dt+ \int_{0}^{1} t^{2} dt+ \int_{1}^{2} 0dt+ \int_{2}^{x} \frac{1}{3}dt=}\)

Zad 5

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x^{2} \ dla \ x \langle 0,1 \rangle \\ \frac{2}{3} \ dla \ x (1,2 \rangle \\ 0 \ dla \ x \ \mbox{niezawierających się} \ \langle 0,2 \rangle \end{cases}}\)
Oblicz wartość oczekiwaną .
Normalne tak bym obliczył
\(\displaystyle{ EX= \int_{0}^{1} x \cdot x ^{2}dx+ \int_{1}^{2}x \cdot \frac{2}{3}dx=}\)
tylko nie wiem co zrobić z okrągłym nawiasem.


Będę bardzo wdzięczny jak rozwiejecie moje wątpliwości .

[Nakahed90]

Ad 1) ok
Ad 2) piewszy skok w złym punkcie zapisałeś
Ad 3) ok
Ad 4) wzór drugi
Ad 5) tak jak liczysz jest poprawnie

[rogal150]

Ad 2 )

Czyli powinno być tak ??
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline x _{i} & 1 & 2 & 4 \\ \hline p _{i} & 0.5 & 0.2 & 0.3 \\ \hline \end{tabular}}\)

i wtedy \(\displaystyle{ EX}\) inne ale z tym problemu nie ma

[Nakahed90]

Teraz jest ok.