Wyznaczenie dystrybuanty, min, max

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3}\) będą nie zależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuantach \(\displaystyle{ F_1,F_2,F_3}\). Wyznacz dystrybuantę \(\displaystyle{ Y=\max\{X_1,\min\{X_2,X_3\}\}}\)

\(\displaystyle{ F_Y(t)=P(Y<t)=P(\max\{X_1,\min\{X_2,X_3\}\}<t)= \begin{cases} P(X_1<t) \ dla \ X_1>\min\{X_2,X_3\} \\ P(\min\{X_2,X_3\}<t) \ dla \ X_1<\min\{X_2,X_3\}\end{cases}}\)
dobrze to wogóle rozpisuje? a jeśli tak, to co z tym dalej zrobić?

[Lorek]

Niby dobrze, ale dochodzi pr. warunkowe itd.

\(\displaystyle{ \max\{a,b\}<t\iff a<t\wedge b<t,\ \min\{a,b\}>t\iff a>t\wedge b>t}\)
stąd
\(\displaystyle{ P(\max\{A,B\}<t)=P(\{A<t\} \cap \{B<t\})\\ P(\min\{A,B\}<t)=1-P(\min\{A,B\}\ge t)=1-P(\{A\ge t\} \cap \{B\ge t\})}\)
i teraz wykorzystaj to w tym zadaniu.

[Kanodelo]

ok, czyli mam coś takiego:

\(\displaystyle{ P(\max\{X_1,\min\{X_2,X_3\}\}<t) = \\ P(\{X_1<t\} \cap \{\min\{X_2,X_3\}<t\}) = \\
P(\{X_1<t\}) P(\min\{X_2,X_3\}<t) = \\ P(X_1<t)\left[ 1-P(\min\{X_2,X_3\}\ge t) \right] = \\ P(X_1<t)\left[ 1-P(\{X_2\ge t\} \cap \{X_3\ge t\})\right]= \\ P(X_1<t)\left[ 1-P(X_2\ge t)P(X_3\ge t)\right]= \\ P(X_1<t)-P(X_1<t)P(X_2\ge t)P(X_3\ge t) = \\ F(X_1)-F(X_1)(1-F(X_2))(1-F(X_3))}\)

[Lorek]

Tak jest.