Nierzetelna moneta- Niezależność

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
ppprezesss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 20 maja 2012, o 14:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zg
Podziękował: 2 razy

Nierzetelna moneta- Niezależność

Post autor: ppprezesss »

1.Mamy dwie nierzetelne monety: niebieską (prawdopodobieństwo otrzymania orła to
0.99) i czerwoną (prawdopodobieństwo otrzymania orła to 0.01). Wybieramy jedną z
nich losowo i rzucamy dwa razy. Niech N – wybór monety niebieskiej, O1, O2 – orły w
odpowiednich rzutach. Zbadać niezależność O1 i O2.

2. Rzucamy dwa razy rzetelną monetą. Rozważmy zdarzenia jak w zadaniu powyżej Zbadać ich
niezależność.
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

Nierzetelna moneta- Niezależność

Post autor: Jacek_Karwatka »

Jeśli zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) są niezależne zachodzi:

\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})=P(O _{2} )}\)

\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C)}\)

\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}}\)

\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C)}\)

\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C)}\)

dla pierwszego przypadku mamy:

\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C) = 0.99*0.5+0.01*0.5=0.5}\)

\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C) = 0.99*0.5+0.01*0.5=0.5}\)

\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C) = 0.99 ^{2}*0.5+0.01 ^{2}*0.5=0.4901}\)

\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}= \frac{0.4901}{0.5}=0.9802 \neq 0.5=P(0 _{2})}\)

w tym przypadku zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) nie są niezależne.

dla symetrycznej monety mamy:

\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C) = 0.5*0.5+0.5*0.5=0.5}\)

\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C) = 0.5*0.2+0.5*0.5=0.5}\)

\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C) = 0.5 ^{2}*0.5+0.5 ^{2}*0.5=0.25}\)

\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}= \frac{0.25}{0.5}=0.5 = 0.5=P(0 _{2})}\)

w tym przypadku zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) są niezależne.
ODPOWIEDZ