1.Mamy dwie nierzetelne monety: niebieską (prawdopodobieństwo otrzymania orła to
0.99) i czerwoną (prawdopodobieństwo otrzymania orła to 0.01). Wybieramy jedną z
nich losowo i rzucamy dwa razy. Niech N – wybór monety niebieskiej, O1, O2 – orły w
odpowiednich rzutach. Zbadać niezależność O1 i O2.
2. Rzucamy dwa razy rzetelną monetą. Rozważmy zdarzenia jak w zadaniu powyżej Zbadać ich
niezależność.
Nierzetelna moneta- Niezależność
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 20 maja 2012, o 14:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zg
- Podziękował: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Nierzetelna moneta- Niezależność
Jeśli zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) są niezależne zachodzi:
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})=P(O _{2} )}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C)}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C)}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C)}\)
dla pierwszego przypadku mamy:
\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C) = 0.99*0.5+0.01*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C) = 0.99*0.5+0.01*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C) = 0.99 ^{2}*0.5+0.01 ^{2}*0.5=0.4901}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}= \frac{0.4901}{0.5}=0.9802 \neq 0.5=P(0 _{2})}\)
w tym przypadku zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) nie są niezależne.
dla symetrycznej monety mamy:
\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C) = 0.5*0.5+0.5*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C) = 0.5*0.2+0.5*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C) = 0.5 ^{2}*0.5+0.5 ^{2}*0.5=0.25}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}= \frac{0.25}{0.5}=0.5 = 0.5=P(0 _{2})}\)
w tym przypadku zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) są niezależne.
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})=P(O _{2} )}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C)}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C)}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C)}\)
dla pierwszego przypadku mamy:
\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C) = 0.99*0.5+0.01*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C) = 0.99*0.5+0.01*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C) = 0.99 ^{2}*0.5+0.01 ^{2}*0.5=0.4901}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}= \frac{0.4901}{0.5}=0.9802 \neq 0.5=P(0 _{2})}\)
w tym przypadku zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) nie są niezależne.
dla symetrycznej monety mamy:
\(\displaystyle{ P(O _{2})=P(O _{2}|N)P(N)+P(O _{2}|C)P(C) = 0.5*0.5+0.5*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1})=P(O _{1}|N)P(N)+P(O _{1}|C)P(C) = 0.5*0.2+0.5*0.5=0.5}\)
\(\displaystyle{ P(O _{1} \wedge O _{2} )=P(O _{1} \wedge O_{2}|N)P(N)+P(O _{1} \wedge O_{2}|C)P(C) = 0.5 ^{2}*0.5+0.5 ^{2}*0.5=0.25}\)
\(\displaystyle{ P(O _{2}|O _{1})= \frac{P(O _{2} \wedge O _{1})}{P(O _{1})}= \frac{0.25}{0.5}=0.5 = 0.5=P(0 _{2})}\)
w tym przypadku zdarzenia \(\displaystyle{ O _{1}}\) i \(\displaystyle{ O _{2}}\) są niezależne.