Gęstość rozkładu na kwadracie

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ (X,Y)}\) będzie parą zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na kwadracie \(\displaystyle{ [0,2]\times [0,2]}\). wyznacz gęstość zmiennej losowej
a) \(\displaystyle{ Z=X+Y}\)
b) \(\displaystyle{ Z=X-Y}\)

a) Najpierw wyznaczam dystrybuante i rozbiłem to na przypadki:
dla \(\displaystyle{ (x,y)\notin[0,2]\times[0,2] \ F_Z(t)=0}\)
dla \(\displaystyle{ 0\le Z \le 2}\)
\(\displaystyle{ F_Z(t)=\int_0^z\int_0^{z-x}\frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
dla \(\displaystyle{ 2\le Z\le 4}\)
\(\displaystyle{ F_Z(t)=1-\int_z^2\int_{z-x}^2 \frac{1}{4}\mbox{d}y \mbox{d}x}\)
potem oczywiście trzeba policzyć pochodną z tego, ale nie mam żadnej pewności czy te całki są poprawnie zapisane, więc prosze o sprawdzenie
b) pewnie podobnie, ale ten obszar jest w drugą stronę i nie wiem jak ułożyć odpowiednią całkę

[Lorek]

Pierwsza wyglądają ok, poza tym, że raz jest \(\displaystyle{ z}\) a raz \(\displaystyle{ t}\). W drugiej granice \(\displaystyle{ x}\)-a będą inne. W tym i w podpunkcie b) najlepiej sobie zrobić rysunek i patrzeć jak będzie się zmieniał obszar całkowania dla zmieniającego się \(\displaystyle{ t}\)

[Kanodelo]

czy podpunkt b) powinien wyglądać tak:
dla \(\displaystyle{ (x,y)\notin[0,2]\times[0,2] \ \ F_Z(z)=0}\)
dla \(\displaystyle{ 0\le Z\le 2}\)
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\int_z^2\int_0^{z-x} \frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
dla \(\displaystyle{ 2\le Z\le 4}\)
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\int_0^z\int_{z-x}^2 \frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)

[Lorek]

Przede wszystkim to skoro \(\displaystyle{ x,y\in[0,2]}\) to \(\displaystyle{ x-y\in [-2,2]}\), czyż nie?

[Kanodelo]

No tak, ale skoro obszarem jest kwadrat \(\displaystyle{ [0,2]\times [0,2]}\) to np przedział \(\displaystyle{ [-2,0)}\) nie należy do tego obszaru, więc dystrybunata będzie równa 0, czy nie?

[Lorek]

A co ma piernik do wiatraka? Jeśli zmienna \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [0,2]}\), zmienna \(\displaystyle{ Y}\) tak samo, to jakie wartości może przyjąć zmienna \(\displaystyle{ Z=X-Y}\)?

[Kanodelo]

Aha dobra...To ja bym zostawił granice całkowani takie same jak w poprzednim poście, tylko zmienił przedziały:
dla \(\displaystyle{ -2\le Z\le 0}\)
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\int_z^2\int_0^{z-x} \frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
dla \(\displaystyle{ 0\le Z\le 2}\)
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\int_0^z\int_{z-x}^2 \frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)

[Lorek]

No niestety nie, w 1. to nawet granice całek wychodzą poza nasz kwadrat, a w obu nie zachodzi \(\displaystyle{ F(-2)=0, F(2)=1}\), a powinno. Masz przecież
\(\displaystyle{ F_Z(z)=P(X-Y<z)=\iint_{D_z}\frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
gdzie
\(\displaystyle{ D_z=\{(x,y): (x,y)\in [0,2]^2\ \wedge \ x-y<z\}}\)
i teraz narysuj sobie te obszary dla kilku wartości \(\displaystyle{ z}\) i wywnioskuj stąd jakie mogą być granice.

[Kanodelo]

No to już nie wiem, na zajęciach robiliśmy podobne zadanie i stąd wywnioskowałem że to się liczy tak samo jak całkę podwójną po obszarze, tylko że zamiast drugiej granicy po \(\displaystyle{ x}\) pisze się \(\displaystyle{ z}\), a zamiast drugiej granicy po \(\displaystyle{ y}\) pisze się to, jak ta funkcja wygląda, np \(\displaystyle{ z-x}\).
A tutaj mamy kwadrat \(\displaystyle{ [0,2]\times[0,2]}\), narysowałem ten obszar i podzieliłem na 2 trójkąty: jeden od prostej \(\displaystyle{ y=x}\) w góre, a drugi w dół. Jakbyśmy liczyli pole tego pierwszego trójkąta, to za pomocą całki podwójnej zapisywałoby się to
\(\displaystyle{ \int_0^2\int_x^2 \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
a tutaj mamy dystrybuantę czyli liczymy całkę z funkcji gęstości, czyli liczymy 1 minus pole tego trójkąta, czyli \(\displaystyle{ 1-\int_z^2\int_{z-x}^2\frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\), tak bym kombinował.

[Lorek]

No bo to się liczy jako całkę podwójną po obszarze, tylko najważniejsze jest wyznaczenie tego obszaru, a z tym widzę, że są problemy.
Masz: ... 26y%3C2%5D posprawdzaj jak ten obszar wygląda dla różnych \(\displaystyle{ z}\) (tam musisz to zmieniać przy pierwszej nierówności). No jak łatwo się domyślić jeden przypadek będzie dla \(\displaystyle{ z\in[-2,0]}\) a drugi dla \(\displaystyle{ z\in[0,2]}\)

[Kanodelo]

No to dokładnie tak to narysowałem wcześniej..
Jak mamy \(\displaystyle{ Z\in[-2,0]}\) to jest taki trójkąt:
[x-y%3E-2%26%26x-y%3C0%26%26x%3E0%26%26x%3C2%26%26y%3E0%26%26y%3C2]
i normalnie \(\displaystyle{ x\in[0,2], \ y\in[x,2]}\), ale teraz to już nie wiem jak to przerobić na dystrybuante

[Lorek]

Jak mamy \(\displaystyle{ z\in[-2,0]}\) to mamy trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,2),(0,-z),(z+2,2)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in[0,z+2], y\in[x-z,2]}\), czyli dystrybuanta będzie taka:
\(\displaystyle{ F(z)=\int_0^{z+2}\int_{x-z}^2\frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
Biorąc pod uwagę, że gęstość jest stała, to to jest po prostu pole tego trójkąta razy gęstość.

[Kanodelo]

Aha... Czyli ta prosta co jest na samym środku ma równanie \(\displaystyle{ y=x-z}\) i trzeba sobie wstawić np \(\displaystyle{ x=0}\), żeby uzyskać \(\displaystyle{ y=-z}\).
Czyli idąc tym tropem
\(\displaystyle{ z\in[0,2] \\ F_Z(z)=\int_0^{z+2}\int_0^{x-z}\frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)

[Lorek]

Aha... Czyli ta prosta co jest na samym środku ma równanie \(\displaystyle{ y=x-z}\)

Każda prosta, którą bierzemy pod uwagę ma takie równanie. Dla tej na samym środku mamy \(\displaystyle{ z=0}\).

i trzeba sobie wstawić np \(\displaystyle{ x=0}\), żeby uzyskać \(\displaystyle{ y=-z}\).

i trzeba opisać ten trójkąt, który nam wyjdzie.

Czyli idąc tym tropem
\(\displaystyle{ z\in[0,2]}\)

a dla takiego przedziału to już nie całkujemy po trójkącie, więc trzeba do tego inaczej podejść.

[Kanodelo]

To chyba powinno być
\(\displaystyle{ \int_{z+2}^2\int_0^{x-z}\frac{1}{4} \mbox{d}y \mbox{d}x}\)