Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Krzysztof44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 cze 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Post autor: Krzysztof44 »

Cześć,
chciałbym abyście powiedzieli czy dobrze robię następujące zadanie.
Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x, y) = x + y}\) dla \(\displaystyle{ 0<x,y<1}\) oraz \(\displaystyle{ f = 0}\) poza tym kwadratem. Oblicz rozkład \(\displaystyle{ XY}\).

Rozwiązanie:

Chcę policzyć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ XY}\), zatem dla \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ P(XY<t) = 1-P(XY>t) = 1 - \int \int_{\{xy>t\}} f(x,y) dx dy \\
=1 - \int_{t}^{1} dx \int_{ \frac{t}{x}}^{1} (x+y) dy = \ldots = t}\)



czyli otrzymuję, że gęstość to \(\displaystyle{ h(x)=1_{(0,1)}(x)}\). Czy to jest dobrze rozwiązane?

edit: Coś mi się łamie ta linijka texa, nie wiem co na to poradzić.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Post autor: norwimaj »

Mnie wychodzi inaczej i zgodnie z moją intuicją \(\displaystyle{ \lim_{x\to1^-}h(x)=0}\). Dlatego podejrzewam że gdzieś się pomyliłeś w rachunkach.
KasienkaG
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 2 lut 2011, o 14:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Www
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Post autor: KasienkaG »

A skąd wiadomo w jaki sposób dobrać granice całkowania?
Krzysztof44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 cze 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Post autor: Krzysztof44 »

Z rysunku. W tym przykładzie najlepiej zastosować wzór na iloczyn zmiennych losowych, coś tym moim powyższym sposobem nie chce wyjść dobrze.
KasienkaG
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 2 lut 2011, o 14:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Www
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Post autor: KasienkaG »

wzór na iloczyn zmiennych?? a mógłbyś jaśniej?
Krzysztof44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 14 cze 2009, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Post autor: Krzysztof44 »

\(\displaystyle{ h(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(v,\frac{u}{v})\frac{1}{|v|}dv}\). Gdzie \(\displaystyle{ f(x,y)}\) to gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Wzór ten wyprowadzany był zapewne na ćwiczeniach. Piszę tak, bo domyślam się, że jesteś z PWR.
KasienkaG
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 2 lut 2011, o 14:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Www
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Rozkład iloczyny zmiennych losowych.

Post autor: KasienkaG »

był na ćwiczeniach, tylko, że on jest dobry, jeśli nie mamy ograniczeń, w tym przypadku wydaje mi się, że też trzeba odpowiednio dobrać granice, pytanie tylko jak???
ODPOWIEDZ