Rozkład zmiennej losowej ciągu rzutów dwiema kostkami

[kieubass]

Dokonujemy ciągu rzutów dwiema symetrycznym kostkami. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę wykonanych rzutów aż do momentu wyrzucenia dwóch szóstek. Jeżeli dwie szóstki nigdy się nie pojawią to \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ -1}\).
Podać rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Ile średnio rzutów należy wykonać do momentu pojawienia się dwóch szóstek? Jakie jest prawdopodobieństwo że wykonamy co najmniej \(\displaystyle{ k}\) rzutów \(\displaystyle{ \left( k \ge 1\right)}\) oraz że wykonamy parzystą liczbę rzutów?

[leapi]

Na pewno dobrze przepisałeś ?? \(\displaystyle{ -1}\) mi się nie podoba, sugeruje, że ilość prób jest skończona

[kieubass]

Na pewno dobrze przepisałeś ?? \(\displaystyle{ -1}\) mi się nie podoba, sugeruje, że ilość prób jest skończona

Na pewno się tu nie pomyliłem, tak jest napisane że dla nieskończonego rzutu \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ -1}\)

[leapi]

Dla mnie to dziwne formułowanie, zmienna losowa przyjmuje wartości
\(\displaystyle{ X=1 \wedge p_1=\frac{1}{36}}\)
\(\displaystyle{ X=2 \wedge p_2=\frac{1}{36}\cdot \frac{35}{36}}\)
\(\displaystyle{ X=3 \wedge p_3=\frac{1}{36}\cdot \left( \frac{35}{36}\right) ^2}\)
\(\displaystyle{ X=4 \wedge p_4=\frac{1}{36}\cdot \left( \frac{35}{36}\right) ^3}\)

itd rozkład geometryczny

średnia ilość rzutów \(\displaystyle{ E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{1}{36}}=36}\)
\(\displaystyle{ p}\) - prawdopodobieństwo sukcesu

-- 20 maja 2012, o 23:52 --

prawdopodobieństwo wykonania co najmniej \(\displaystyle{ k}\) rzutów \(\displaystyle{ p_k+p_{k+1}+..}\)

wynosi \(\displaystyle{ 1-(p_1+p_2+...+p_{k-1})}\) idzie policzyć skończoną sumą ciągu geometrycznego

\(\displaystyle{ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\frac{1}{36}\left( 1-\left( \frac{35}{36} \right)^{k-1} \right) }{1- \frac{35}{36} }=1-\left( \frac{35}{36} \right)^{k-1}}\)

stąd \(\displaystyle{ 1-(p_1+p_2+...+p_{k-1})=1-1+\left( \frac{35}{36} \right)^{k-1}=\left( \frac{35}{36} \right)^{k-1}}\)

-- 20 maja 2012, o 23:56 --

nie wiem jak policzyć parzystość, może tutaj ta informacja, kiedy zmienna losowa przyjmie wartość \(\displaystyle{ -1}\) będzie potrzebna, ale na prawdę nie wiem. Ja w każdym razie tak bym widział część rozwiązania, więcej pomóc nie umiem

[kieubass]

A czemu tam jest \(\displaystyle{ \wedge p _{i}}\)? Co to oznacza?

[leapi]

\(\displaystyle{ \wedge}\) to spójnik i
nie chciało mi sie tabelki robić

[kieubass]

ale ja wiem jak wygląda spójnik "i" chodziło mi co oznacza zapis \(\displaystyle{ X=i \wedge p _{i}}\)

[leapi]

zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmie wartość \(\displaystyle{ 1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_1}\)

itd.

słowny zapis tabelki