Rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta, EX i opłacalność gry

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

Rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta, EX i opłacalność gry

Post autor: kieubass »

Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu otrzymania reszki przy czym nie wykonujemy więcej niż \(\displaystyle{ 5}\) rzutów. Jeżeli reszka pojawi się w \(\displaystyle{ k-}\)tym rzucie \(\displaystyle{ \left( k = 1,2,3,4,5\right)}\) to wygrywamy \(\displaystyle{ 5-k}\) złotych. Jeżeli reszka nie pojawi się w \(\displaystyle{ 5}\) rzutach to przegrywamy \(\displaystyle{ 66}\) złotych. Zaproponować przestrzeń probabilistyczną opisującą to doświadczenie. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza wartość naszej wygranej/przegranej. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), jej dystrybuantę oraz obliczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}X}\). Czy jest to gra dla nas opłacalna?-- 20 maja 2012, o 23:57 --Przestrzeń probabilistyczna:
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ \left( R\right),\left( O,R\right) ,\left( O,O,R\right) ,\left( O,O,O,R\right) , \left( O,O,O,O,R\right) ,\left( O,O,O,O,O\right) \right\}}\)

Nie wiem czy dobrze robię ale moim zdaniem muszę wyliczyć najpierw:
\(\displaystyle{ P\left( k=1\right)= \frac{1}{2} \\ P\left( k=2\right)= \left( \frac{1}{2}\right) ^{2} \\ P\left( k=3\right)= \left( \frac{1}{2}\right) ^{3} \\ P\left( k=4\right)= \left( \frac{1}{2}\right) ^{4} \\ P\left( k=5\right)= \left( \frac{1}{2}\right) ^{5}}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -66 \\ \hline
P _{X} & \left( \frac{1}{2} \right) & \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} & \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} & \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} & \left( \frac{1}{2} \right) ^{5} & \left( \frac{1}{2} \right) ^{5} \\ \hline
\end{tabular}}\)


Jeśli dobrze myślę to:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=4 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} + 0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{5} - 66 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{5} = \\ = 2 + \frac{3}{4} + \frac{2}{8} + \frac{1}{16} - \frac{66}{32}=1}\)

Czyli skoro wartość oczekiwana wyszła mi \(\displaystyle{ 1}\) to znaczy że jestem na plusie więc gra jest opłacalna

Czy aby na pewno wszystko dobrze wyliczyłem? Proszę o sprawdzenie tego co zrobiłem i o zrobienie dystrybuanty Bo chyba to co zrobiłem można nazwać rozkładem zmiennej, prawda?
Pozdrawiam
leapi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 622
Rejestracja: 4 mar 2012, o 07:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 86 razy

Rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta, EX i opłacalność gry

Post autor: leapi »

według mnie jest poprawnie
ODPOWIEDZ