niezależność zdarzeń prawdopodobieństwa geometrycznego

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

niezależność zdarzeń prawdopodobieństwa geometrycznego

Post autor: kieubass »

Z odcinka \(\displaystyle{ \left[ -1,2\right]}\) wybieramy w sposób losowy dwa punkty. Zaproponować przestrzeń probabilistyczną opisującą to doświadczenie oraz obliczyć prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

\(\displaystyle{ A -}\) odległość wylosowanych punktów od siebie jest nie większa niż 1
\(\displaystyle{ B -}\) współrzędnie obydwu wylosowanych punktów są dodatnie

Czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne? Obliczyć \(\displaystyle{ P\left( A|B\right)}\)

-- 20 maja 2012, o 22:22 --

Zaczynając od przestrzeni probabilistycznej:
\(\displaystyle{ \\ \Omega= \left[ -1,2\right] ^{2} \ \ \ \overline{\overline{\Omega}}=3 \\ \mathcal{F}=B\left( \Omega\right) \ \ \ P= \frac{\lambda _{2} }{9}}\)

-- 20 maja 2012, o 22:31 --

a) Jakbym chciał geometrycznie zinterpretować to będzie to mniej więcej rysunek taki że główną prostą będzie funkcja \(\displaystyle{ f\left( x\right)=x}\) i ograniczymy ją dwiema innymi prostymi \(\displaystyle{ f\left( x\right)=x+1}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right)=x-1}\) wraz z tymi prostymi bo jest nie większa czyli mniejsza lub równa. I wtedy z rysunku obliczamy pole (czyli dwuwymiarową miarę Lebesgue'a) powierzchni ograniczonej tymi dwiema prostymi. Czy dobrze myślę? :D I wtedy dzielimy przez \(\displaystyle{ 9}\) i mamy \(\displaystyle{ P\left( A\right)}\)
Z rysunku widzę że raczej \(\displaystyle{ P\left( A\right)= \frac{5}{9}}\)

-- 20 maja 2012, o 22:35 --

b) tutaj geometrycznie jest trywialnie ponieważ bierzemy z całego kwadratu \(\displaystyle{ \left[ -1,2\right] \times \left[ -1,2\right]}\) tylko kwadrat \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right] \times \left[ 0,2\right]}\) którego \(\displaystyle{ \lambda _{2} \left( B\right)=4}\) zatem \(\displaystyle{ P\left( B\right) = \frac{4}{9}}\)

-- 20 maja 2012, o 22:46 --

c) Jeśli chodzi o niezależność to wiem że jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są niezależne to \(\displaystyle{ P\left( A \cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)}\) więc z tego skorzystam :D
Wiem że prawa strona to \(\displaystyle{ \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{81}}\)
Z lewą stroną poradzę sobie z pomocą moich rysunków bo zobaczę na jakim fragmencie omegi oba zdarzenia zachodzą jednocześnie. Wyszło mi że \(\displaystyle{ P\left( A \cap B\right) = \frac{1}{3} = \frac{27}{81}}\) a niestety \(\displaystyle{ \frac{27}{81} \neq \frac{20}{81}}\) zatem zdarzenia te nie są niezależne. Jakże mi przykro :D

-- 20 maja 2012, o 22:53 --

Ponieważ \(\displaystyle{ P\left( A|B\right) = \frac{P\left( A \cap B\right) }{P\left( B\right) }}\) zatem:

\(\displaystyle{ P\left( A|B\right) = \frac{ \frac{1}{3} }{ \frac{4}{9} }= \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}}\)

Proszę o sprawdzenie czy wszystko jest dobrze i czy aby na pewno się nie pomyliłem nigdzie :)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

niezależność zdarzeń prawdopodobieństwa geometrycznego

Post autor: norwimaj »

kieubass pisze: \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=3}\)
Co ten napis ma oznaczać?

Poza tym nie mam zastrzeżeń.
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

niezależność zdarzeń prawdopodobieństwa geometrycznego

Post autor: kieubass »

a sorry faktycznie nie jestem przecież w stanie podać mocy omegi ponieważ jest ona nieskończona, gdyż zawiera nieskończenie wiele punktów, a co gorsza nawet nie jest to przeliczalna ilość więc \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=\mathfrak{C}}\)

A już na pewno ta moc nie mogła się równać czemuś tak małemu jak \(\displaystyle{ 3}\) :D taka głupia pomyłka przez pośpiech do kolosa :D

Oczywiście powinna tu być dwuwymiarowa miara Lebesgue'a :)

\(\displaystyle{ \lambda _{2} \left( \Omega\right) =3}\)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

niezależność zdarzeń prawdopodobieństwa geometrycznego

Post autor: norwimaj »

To chyba raczej \(\displaystyle{ 9}\), co jest zgodne z Twoimi późniejszymi rachunkami.
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

niezależność zdarzeń prawdopodobieństwa geometrycznego

Post autor: kieubass »

norwimaj pisze:To chyba raczej \(\displaystyle{ 9}\), co jest zgodne z Twoimi późniejszymi rachunkami.
No tak \(\displaystyle{ 9}\) racja zasugerowałem się Twoim cytatem
ODPOWIEDZ