Niezależność zdarzeń

[superkwasek]

Witam ponownie, mam problem z jeszcze jednym ostatnim zadaniem, mianowicie:

Zadanie.15 Zdarzenia A i B są niezależne oraz P(A= 0,5, P(B)= 0,6 . Oblicz prawdopodobieństwa:
zajścia zdarzenia A i nie zajścia zdarzenia B,
zajścia co najmniej jednego ze zdarzeń A, B,
zajścia dokładnie jednego ze zdarzeń A, B,
zajścia obydwu zdarzeń A i B,
zajścia zdarzenia A jeżeli wiadomo, że zaszło zdarzenie B.

domyślam się, że może być to banalne zadanie, jednak nie mam pojęcia jak to zacząć.

[norwimaj]

Zacznij od policzenia \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A\cap B)}\) (z niezależności). Potem chyba najszybciej będzie narysować diagram Venna i odczytać wszystko z rysunku.

[superkwasek]

Ok, tylko jak się mniej więcej do tego zabrać? Jeśli były by zbiory sprawa była by prosta, tylko tutaj mamy prawdopodobieństwa...

edit:
zajścia obydwu zdarzeń A i B
czyli tak jak napisałeś, \(\displaystyle{ P(AnB) = P(A) * P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(AnB) = 0,3}\)

tak?

[norwimaj]

Tak. To teraz na diagramie można zaznaczyć \(\displaystyle{ 0{,}3}\) na części wspólnej zdarzeń. Obok mamy \(\displaystyle{ A\cap B'}\) i \(\displaystyle{ A' \cap B}\) odpowiednio z prawdopodobieństwami \(\displaystyle{ 0{,}5-0{,}3}\) i \(\displaystyle{ 0{,}6-0{,}3}\).

[superkwasek]

Ok czyli:

zajścia zdarzenia A i nie zajścia zdarzenia B,
tak jak napisałeś \(\displaystyle{ 0,5 - 0,3}\)
zajścia co najmniej jednego ze zdarzeń A, B,
\(\displaystyle{ 0,5-0,2 + 0,6-0,3}\) ?
zajścia dokładnie jednego ze zdarzeń A, B,
tutaj nie mam pomysłu
zajścia obydwu zdarzeń A i B,
\(\displaystyle{ P(AnB) = P(A) * P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(AnB)=0,3}\)
zajścia zdarzenia A jeżeli wiadomo, że zaszło zdarzenie B.
tutaj też nie wiem jak to rozpisać.

[norwimaj]

zajścia co najmniej jednego ze zdarzeń A, B,
\(\displaystyle{ 0,5-0,2 + 0,6-0,3}\) ?

To jest suma zdarzeń \(\displaystyle{ A'\cap B}\), \(\displaystyle{ A\cap B}\), \(\displaystyle{ A\cap B'}\), czyli
\(\displaystyle{ 0{,}3+0{,}3+0{,}2}\)

zajścia dokładnie jednego ze zdarzeń A, B,
tutaj nie mam pomysłu

Dokładnie jedno, czyli \(\displaystyle{ (A'\cap B)\cup(A\cap B')}\).

zajścia zdarzenia A jeżeli wiadomo, że zaszło zdarzenie B.
tutaj też nie wiem jak to rozpisać.

Wiesz, co to jest prawdopodobieństwo warunkowe?

[superkwasek]

zajścia co najmniej jednego ze zdarzeń A, B,
\(\displaystyle{ 0,5-0,2 + 0,6-0,3}\) ?

To jest suma zdarzeń \(\displaystyle{ A'\cap B}\), \(\displaystyle{ A\cap B}\), \(\displaystyle{ A\cap B'}\), czyli
\(\displaystyle{ 0{,}3+0{,}3+0{,}2}\)

Ok, jednak zagalopowałem się i postanowiłem zrobić po prostu \(\displaystyle{ P(AuB)=0,8}\) wynik ten sam co Twój.

zajścia dokładnie jednego ze zdarzeń A, B,
tutaj nie mam pomysłu

Dokładnie jedno, czyli \(\displaystyle{ (A'\cap B)\cup(A\cap B')}\).
\(\displaystyle{ P(A∩B')= 0,5*0,4 = 0,2}\)
\(\displaystyle{ P(A'∩B)= 0,5 * 0,6 = 0,3}\)
tylko nie wiem jak sumę obliczyć

zajścia zdarzenia A jeżeli wiadomo, że zaszło zdarzenie B.
tutaj też nie wiem jak to rozpisać.

Wiesz, co to jest prawdopodobieństwo warunkowe?

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(AnB)}{P(B)}}\)
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{0,3}{0,6} = \frac{1}{2}}\)

coś takiego?

[norwimaj]

Właśnie tak.