Wykluczanie i niezależność zdarzeń

[superkwasek]

Cześć, mam problem z dwoma zadaniami:

Czy zdarzenia A i B mogą być niezależne, jeżeli:
a) P(A)=0,2 P(B)=0,3 oraz P(AnB)=0,006 ,
b) P(A)=0,23 P(B)=0,72 oraz. P(AnB)=0,5

Znalazłem taki oto wzór P(AnB) = P(A) * P(B)
czyli
0.2 x 0.3 = 0.06
eq 0,006
o.23 x 0.72 = 0.1656
eq 0,5
czyli zdarzenia nie mogą być nie zależne?

Zadanie.6 Czy zdarzenia A i B mogą być wykluczające się, jeżeli:
a) P(A)= 0,23 oraz P(B)= 0,72 ,
b) P(A)= 0,68 oraz P(B)= 0,49 ?

Z tym zadaniem w ogóle nie wiem jak sobie poradzić. Proszę o pomoc, pozdrawiam.

[Paulina-Anna]

Zdarzenia \(\displaystyle{ A, B}\) się wykluczają, gdy \(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\), czyli \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)}\).
Zauważ, że w przypadku a)

\(\displaystyle{ P(A)+P(B)=0,23+0,72=0,95}\)

a w b)

\(\displaystyle{ P(A)+P(B)=0,68+0,49=1,17 \neq P(A \cup B)}\), bo \(\displaystyle{ P(A \cup B) \le 1}\)

[superkwasek]

Ok bardzo dziękuje za pomoc, już wiem o co chodzi z tym, jednak gdy w grę wchodzą nie wiadome nie mam pojęcia jak to zrobić:

Zadanie.13 Zdarzenia A i B są takie, że P(A)=1-a, P(B)=2a, P(AnB)=a . Dla jakich wartości parametru a
zdarzenia A i B są:
-niezależne
-wykluczające się

Niezależne czyli:

\(\displaystyle{ P(AnB) = P(A) x P(B)}\)
\(\displaystyle{ a=(1-a) * 2a}\)
\(\displaystyle{ a=2a - 2a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a \le 1}\)
\(\displaystyle{ 2a - 2a ^{2} \le 1}\)
\(\displaystyle{ - 2a ^{2} + 2a - 1 \le 0}\)
\(\displaystyle{ delta=-4}\)
brak miejsc zerowych, ramiona w dół
\(\displaystyle{ a \in R}\)

zgadza się?

Wykluczające się:

\(\displaystyle{ P(AuB)= P(A) + P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(AuB)= 1 - a + 2a}\)
\(\displaystyle{ P(AuB)= 1 + a}\)
\(\displaystyle{ P(AuB) \le 1}\)
\(\displaystyle{ 1 + a \le 1}\)
\(\displaystyle{ a \le 0}\)

Dobrze?

[Paulina-Anna]

Dobrze, tylko musisz chyba jeszcze założyć, że \(\displaystyle{ 1-a \le 1 \wedge 1-a \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2a \le 1 \wedge 2a \ge 0}\) i \(\displaystyle{ a \le 1 \wedge a \ge 0}\)

[superkwasek]

Dziękuje, jednak zbytnio nie rozumiem dlaczego tak muszę założyć

[Paulina-Anna]

Ponieważ dla dowolnego zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ P(A) \ge 0 \wedge P(A) \le 1}\)

[superkwasek]

Chyba jednak źle to zrobiłem, nie powinno być tak:

\(\displaystyle{ P(AnB) = P(A) x P(B)}\)
\(\displaystyle{ a=(1-a) * 2a}\)
\(\displaystyle{ a=2a - 2a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a-2a^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ a(-2a +1)=0}\)
\(\displaystyle{ a=0}\)
lub
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\)

nie tak powinno być?

[Paulina-Anna]

Tak, rzeczywiście.

[superkwasek]

Czy jeśli mam obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe:
Zdarzenia A i B są takie, że P(A)=0,5; P(B)=0,4; P(AuB)0,7 . Oblicz prawdopodobieństwa:
c) P(A|B) , d) P(A|AuB)

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(AnB)}{P(B)}}\)
\(\displaystyle{ P(AnB)=0,2}\)
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{0,2}{0,4}}\)
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{1}{2}}\)
tak to ma wyglądać?

z kolejnym mam wątpliwości, nie wiem jak wzór ułożyć
\(\displaystyle{ P(A|AuB)= \frac{P(AnB)}{P(AuB)}}\)

tak wywnioskowałem z poprzedniego wzoru...-- 20 maja 2012, o 00:05 --Jednak dalej mam problem z warunkowym, mam coś takiego:

\(\displaystyle{ P(A|AuB)}\)
czy wzór będzie taki?
\(\displaystyle{ P(A|AuB)= \frac{P(A)}{P(AuB)}}\)

[Paulina-Anna]

Jeśli chodzi o przykład ostatni, to wzor będzie dokladnie taki, jak napisaleś, bo częścią wspólną zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest \(\displaystyle{ A}\).

Co do zdarzeń wykluczających się kilka postów wyżej,

\(\displaystyle{ P(AuB)= P(A) + P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(AuB)= 1 - a + 2a}\)
\(\displaystyle{ P(AuB)= 1 + a}\)

to trzeba wyliczyć, ile wynosi \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) i taką wartość wstawić do równania

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\).