Prawdopodobieństwo - coś podobnego do paradoksu Monty Halla.

[_Mithrandir]

Mam takie zadanie:

W pudełku jest jedna z monet: 1 zł lub 2 zł. Wrzucamy do pudełka drugą monetę - złotówkę, a następnie wyciągamy złotówkę. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w pudełku została złotówka?

Wynik ponoć ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) . Trochę przypomina mi to paradoks Monty Halla, ale nie wiem, jak to do tego zaadoptować. Ma ktoś jakiś pomysł?

[norwimaj]

W jaki sposób tę złotówkę wyciągamy? Jakieś losowanie się tu odbywa?

[Jacek_Karwatka]

Ze wzoru Bayesa:

\(\displaystyle{ P(S1|W1)= \frac{P(W1|S1)P(S1)}{P(W1|S1)P(S1)+P(W1|S2)P(S2)}}\)

\(\displaystyle{ P(W1|S1) = 1}\) prawdopodobieństwo wyciągnięcia złotówki pod warunkiem że środku była już złotówka

\(\displaystyle{ P(W1|S2) = \frac{1}{2}}\) prawdopodobieństwo wyciągnięcia złotówki pod warunkiem że środku była już dwuzłotówka

\(\displaystyle{ P(S1) = \frac{1}{2}}\) prawdopodobieństwo że środku była już złotówka

\(\displaystyle{ P(S2) = \frac{1}{2}}\) prawdopodobieństwo że środku była już dwuzłotówka

\(\displaystyle{ P(S1|W1)}\) prawdopodobieństwo że środku była już złotówka pod warunkiem wyciągnięcia złotówki

\(\displaystyle{ P(S1|W1)= \frac{P(W1|S1)P(S1)}{P(W1|S1)P(S1)+P(W1|S2)P(S2)}=\frac{1 \cdot \frac{1}{2} }{1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} }= \frac{2}{3}}\)

[norwimaj]

Jacek_Karwatka, moim zdaniem zbyt pospiesznie napisałeś. Zanim _Mithrandir odpowie na moje pytanie, równie dobrym rozwiązaniem jest:

\(\displaystyle{ P(S1|W1)= \frac{P(W1|S1)P(S1)}{P(W1|S1)P(S1)+P(W1|S2)P(S2)}=\frac{1\cdot\frac{1}{2} }{1\cdot \frac{1}{2} + 1\cdot \frac{1}{2} }= \frac12.}\)

[_Mithrandir]

norwimaj, w treści było tylko tyle, ile napisałem w pierwszym poście.

Wynik miał być \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), jak na początku napisałem. Chodziło o rozwiązanie, które zaprezentował Jacek_Karwatka. Dziękuję za pomoc!

[norwimaj]

Czyli to jest takie odgadywanie, co autor miał na myśli, na podstawie odpowiedzi. Nie lubię tego. Tu wątpliwości nasuwa sformułowanie "a następnie wyciągamy złotówkę". Ja tę treść rozumiem w następujący sposób:

W skarbonce znajduje się jedna moneta, która może być złotówką lub dwuzłotówką z równymi prawdopodobieństwami (to nie wynika z treści, ale niech już będzie). Do tej skarbonki wrzucamy złotówkę, a następnie mówimy "świnio, daj jedną złotówkę", po czym skarbonka nam daje jedną ze znajdujących się w niej złotówek. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w skarbonce została złotówka?

Nie widzę nic w treści, co by jednoznacznie wskazywało na interpretację, że "wylosowaliśmy monetę ze skarbonki i okazało się że była to złotówka".

[_Mithrandir]

To tylko jedno z wielu zadań sformułowanych w ten sposób (co zresztą obrzydziło mi rachunek prawdopodobieństwa w liceum).

Też miałem problem z właściwą interpretacją polecenia, dopiero podany wynik zasugerował, że to nie takie proste, żeby wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).