Rozkład zmiennej X+Y

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: Kanodelo »

Niech \(\displaystyle{ (X,Y)}\) będzie parą zmiennych losowych o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)=e^{-x-y}}\) dla \(\displaystyle{ x,y>0}\). Wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\).

Rozwiązałem to zadanie, ale nie mam odpowiedzi i nie wiem czy to jest dobrze:
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x) \mbox{d}x}\)
Rozkłady brzegowe dla X i Y to:
\(\displaystyle{ f(x)=\int_0^\infty e^{-x-y} \mbox{d}y=\left[ -e^{-x-y}\right]_0^\infty=e^{-x} \\ f(y)=\int_0^\infty e^{-x-y} \mbox{d}x=\left[ -e^{-x-y}\right]_0^\infty=e^{-y}}\)
czyli podstawiając do wzoru wychodzi:
\(\displaystyle{ g(z)=\int_0^ze^{-x}e^{-(z-x)} \mbox{d}x =\int_0^z e^{-z} \mbox{d}x =\left[ xe^{-z}\right]_0^\infty=ze^{-z}}\)
czyli \(\displaystyle{ f(z)= \begin{cases} ze^{-z}=(x+y)^{-x-y} \ dla \ x,y>0 \\ 0 \ dla \ x,y<0\end{cases}}\)
Może ktoś by miał ochote to sprawdzić.
Ostatnio zmieniony 18 maja 2012, o 22:22 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: norwimaj »

Kanodelo pisze: czyli podstawiając do wzoru wychodzi:
\(\displaystyle{ g(z)=\int_0^ze^{-x}e^{-(z-x)} \mbox{d}x =\int_0^z e^{-z} \mbox{d}x =\left[ xe^{-z}\right]_0^\infty=ze^{-z}}\)
Ta pierwsza równość oczywiście tylko dla \(\displaystyle{ z\ge0}\).
Kanodelo pisze: czyli \(\displaystyle{ f(z)= \begin{cases} ze^{-z}=(x+y)^{-x-y} \ dla \ x,y>0 \\ 0 \ dla \ x,y<0\end{cases}}\)
Skoro po lewej stronie równości nie ma żadnych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to po prawej stronie też nie powinno ich być.
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: Kanodelo »

A gdybym miał takie samo zadanie i wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ Z= \frac{X}{Y}}\) to wtedy mam policzyć całke \(\displaystyle{ \int_0^ze^{-x}e^{-\frac{x}{z}} \mbox{d}x}\)?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: norwimaj »

Nie widzę uzasadnienia dla takiego postępowania. Gęstość \(\displaystyle{ \frac{X}Y}\) można wyznaczyć rozważając funkcję \(\displaystyle{ \varphi:(0,\infty)^2\to(0,\infty)^2,\;\varphi(x,y)=\left(xy,\frac{x}y\right).}\)
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: Kanodelo »

To znaczy mam podstawić do wzoru \(\displaystyle{ xy}\) i \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) zamiast \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z-y}\)? Bo to chyba by było za proste, a za bardzo tego nie rozumiem
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: norwimaj »

Kanodelo pisze:To znaczy mam podstawić do wzoru \(\displaystyle{ xy}\) i \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) zamiast \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z-y}\)?
Nie, nie o to chodzi. Wiesz w jaki sposób się całkuje przez podstawienie?
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: Kanodelo »

Wiem Tylko nie wiem w którym miejscu to całkowanie wykorzystać...
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Rozkład zmiennej X+Y

Post autor: norwimaj »

Taka funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\), to jest właśnie podstawienie \(\displaystyle{ s=xy,t=\frac{x}y}\). Konkretnie mi tu chodzi o wyznaczenie gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ (S,T)=\left(XY,\frac XY\right).}\)
ODPOWIEDZ