Niezależność zmiennych losowych

[wiskitki]

Dany jest rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2}(x+y), \ \mbox{dla} \ (x,y)\in(0,1)\times(1,2) \\ 0 \ \mbox{w.p.p.} \end{cases}}\). Mam obliczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}X,\mathbb{E}Y,\mathbb{E}XY,\mbox{Var}X,\mbox{Var}Y,\mbox{Cov}(X,Y),\rho(X,Y)}\) i ustalić, czy zmienne są niezależne. Obliczyłem to wszystko, ale nie wiem, jak sprawdzić niezależność. Wiem, że musi zachodzić \(\displaystyle{ P(X)P(Y)=P(X,Y)}\), ale nie wiem, jaki to ma związek z wariancją, kowariancją, współczynnikiem korelacji itp. Poproszę o wskazówkę

[Jacek_Karwatka]

Trzeba obliczyć

\(\displaystyle{ P(x) = \int_{}^{} P(x,y)dy}\)

\(\displaystyle{ P(y) = \int_{}^{} P(x,y)dx}\)

i sprawdzić czy

\(\displaystyle{ P(x,y) = P(x)P(y)}\)

Zerowa wartość kowariancji jest warunkiem konicznym ale nie wystarczającym na to aby zmienne były niezależne. Jeśli kowariancja jest różna d zera to zmienne nie mogą być niezależne.

[wiskitki]

Czyli mam policzyć:
\(\displaystyle{ \int _0^1 \frac{1}{2}(x+y) dx \\ \int_1^2 \frac{1}{2}(x+y) dy \\ \int_0^1\int_1^2\frac{1}{2}(x+y)dydx}\)
Czy może te dwie pierwsze całki będą liczone z gęstości rozkładów brzegowych?

[Jacek_Karwatka]

Dwie pierwsze to właśnie są gęstości rozkładów brzegowych \(\displaystyle{ P(x) i P(y)}\) które należy policzyć.
Ostania całka to z definicji 1. (o ile rozkład nie jest ułomny). Nie chodzi by policzyć całkę podwójną ale sprawdzić czy łączny rozkład gęstości zmiennych losowych x, y jest iloczynem gęstości brzegowych każdej ze zmiennych:
\(\displaystyle{ P(x)P(y)=P(x,y)}\)

ps. kiedy zacząłem liczyć całki wyszło mi ze rozkład jaki podajesz \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2}(x+y), \ \mbox{dla} \ (x,y)\in(0,1)\times(1,2) \\ 0 \ \mbox{w.p.p.} \end{cases}}\) nie jest rozkładem prawdopodobieństwa. Całka z gęstości po całym obszarze sumuje się do 4.

[wiskitki]

Nie wiem, takie nam podali zadanie, może jest błąd

[Jacek_Karwatka]

Rozkład jest ok
pomyliłem się w rachunkach

\(\displaystyle{ P(x)= \int_{1}^{2} \frac{x+y}{2}dy= \frac{2x+3}{4}}\)

\(\displaystyle{ P(y)= \int_{0}^{1} \frac{x+y}{2}dx= \frac{2y+1}{4}}\)

\(\displaystyle{ P(x)P(y)=\frac{2x+3}{4}\frac{2y+1}{4}= \frac{4xy+2x+6y+3}{16} \neq \frac{x+y}{2}=P(x,y)}\)

Zmienne x, y nie są niezależne, są zależne.