Prawd. całkowite i wzór Bayesa

[Alighieri]

Witam.

Zaspałem ostatnio na zajęcia z prawdopodobieństwa całkowitego i teraz żałuję.
Mam takie zadanie; jest początku wykładu, więc raczej nie powinno sprawiać problemu, ale nie czuję się zbyt mocny...

Zadanie 1
W urnie mamy 7 kul białych i 13 czarnych. Wyciągamy jedną, sprawdzamy kolor. Jeśli jest biała, to zwracamy ją do urny, jeśli czarna - wyrzucamy. Wyciągamy jeszcze jedną kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula będzie czarna?

=============================



Zdarzenie A = druga kula jest czarna
\(\displaystyle{ B_{1}}\) = pierwsza kula jest biała (zwracamy)
\(\displaystyle{ B_{2}}\) = pierwsza kula jest czarna (wyrzucamy)

\(\displaystyle{ P\left( B_{1} \right) = \frac{7}{20}}\)

\(\displaystyle{ P\left( B_{2} \right) = \frac{13}{20}}\)


\(\displaystyle{ P\left( A|B_{1}\right) = \frac{ \frac{7}{20}* \frac{13}{20} }{ \frac{7}{20} } = \frac{13}{20}}\)


\(\displaystyle{ P\left( A|B_{2}\right) = \frac{ \frac{13}{20}* \frac{12}{19} }{ \frac{13}{20} } = \frac{12}{19}}\)

\(\displaystyle{ P\left( A\right) = P\left( AlB_{1}\right)*P\left( B_{1} \right) + P\left( AlB_{2}\right)*P\left( B_{2} \right) = \frac{13}{20}*\frac{7}{20 + \frac{12}{19}*\frac{13}{20} = \frac{91}{400} + \frac{156}{380} \approx 0,64}\)


============


edit: końcowy wynik wychodzi mi ok.0,64 . Nie bardzo wiem dlaczego wciąż nie mogę uzupełnić posta o końcowe działanie tzn. wydaje mi się, że skorygowałem błąd w formule

[Jacek_Karwatka]

dalej:

\(\displaystyle{ P(A) = P(A|B _{1})P(B _{1})+P(A|B _{2})P(B _{2})}\)

[Alighieri]

Wiem, tylko nie mogłem tego zamieścić w poście, bo zamieniało mi na informację od moderatora, że mam błąd w formule; dałbym jednak głowę, że go poprawiłem.

Czy mógłbym zatem prosić o sprawdzenie wyniku = 0,64?

[Jacek_Karwatka]

\(\displaystyle{ P(A) \approx 0.638}\)