Kule z urnami, losowanie ze zwracaniem i bez

[ziemowit]

Cześć,

mam do zrobienia zadanie, które składa się z 3 części. Punkt 1 po poszukiwaniu w necie już zrobiłem (bardzo standardowe - nie ująłem go więc w tym poście), brakuje mi jednak punktu 2 i 3. Możecie mi z tym pomóc i wytłumaczyć mniej więcej co i i jak?

Zadanie brzmi:
Mamy 2 urny.
W 1 urnie jest \(\displaystyle{ 30}\) kul białych i \(\displaystyle{ 15}\) czarnych, w urnie 2 jest \(\displaystyle{ 20}\) białych i \(\displaystyle{ 30}\) czarnych.
Należy obliczyć prawdopodobieństwo ze zwracaniem/bez zwracania, gdy:

a) wylosowano \(\displaystyle{ 10}\) razy kulę białą i \(\displaystyle{ 10}\) razy czarną, jeżeli losowaliśmy \(\displaystyle{ 10}\) razy z urny 1 i \(\displaystyle{ 10}\) z urny 2
b) \(\displaystyle{ 10}\) kul białych i \(\displaystyle{ 10}\) czarnych, jeżeli losowaliśmy z jednej urny, ale wybieramy ją losowo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P1}\) (pierwsza urna) i \(\displaystyle{ P2}\)

O ile jestem w stanie rozwiązać zadanie z bez "udziwnien" to te 2 punkty stwarzają mi trudności.

Za pomoc byłbym wdzięczny.

[Olliviaa]

Wszytsko dokładnie jest opisane.; )

[ziemowit]

Wiem, byłem na tej stronie:)
Mój problem polega na tytm, że nie wiem jak te zadanie zacząć, tzn. potrafie wyliczyć prawdopodobieństwo losowania z jednej urny, ale nie bardzo wiem jak zabrać się za losowanie z dwóch urn jednocześnie, albo losowego wybrania urny.

Problem może błahy, ale prawdopodobnieństwo ewidentnie mmi "nie leży"....

[norwimaj]

Jeżeli losujesz niezależnie z dwóch urn, to ogólnie \(\displaystyle{ \Omega=\Omega_1\times\Omega_2}\), gdzie \(\displaystyle{ \Omega_1}\) i \(\displaystyle{ \Omega_2}\) to przestrzenie zdarzeń elementarnych dla poszczególnych urn. Zakładając niezależność mamy \(\displaystyle{ \matbb{P}((\omega_1,\omega_2))=\matbb{P}(\omega_1)\cdot\matbb{P}(\omega_2)}\) oraz \(\displaystyle{ \matbb{P}(A\times B)=\matbb{P}(A)\cdot\matbb{P}(B).}\)

[ziemowit]

Chyba nie do konca zrozumialem:/
Masz na mysli, że powinno byc \(\displaystyle{ {45 \choose 10}}\) x \(\displaystyle{ {50 \choose 10}}\)? wtedy mamy wszystkie zdarzenia elementarne, prawda? Potem z iloczynu wyliczyć, co potrzebne? Czyli powyższy wzór bedziemy miec w mianowniku. A w liczniku? W jaki sposób rozdzielić losowanie na dwie urny z różną kombinacją/ilością białych i czarnych kul?

Mozesz podać jakiś przykład?

A co z punkte b? Wg mnie liczę prawdopodobieństwo dla każdej urny i mnoże przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Dobrze kombinuje?

[norwimaj]

Najpierw napisz, co to jest \(\displaystyle{ \Omega_1}\), \(\displaystyle{ \Omega_2}\), a dopiero potem porozmawiamy, ile te przestrzenie mają elementów.

[ziemowit]

Ok, w takim razie zawsze mamy 11 mozliwości.
W 1 przypadku:
10 (B)iałych + 0 (C)zarnych
9 B + 1 C
8 B + 2 C
7 B + 3 C
6 B + 4 C
5 B + 5 C
4 B + 6 C
3 B + 7C
2 B + 8 C
1 B + 9 C
0 B + 10 C

w 2 przypadku właściwie taka sama sytuacja, tylko w odwrotnej kolejności.
No i z pierwszym razem losujemy z 45 kul, a za 2 z 50.
O to chodziło?

[norwimaj]

Ok, w takim razie zawsze mamy 11 mozliwości.
W 1 przypadku:
10 (B)iałych + 0 (C)zarnych
9 B + 1 C
8 B + 2 C
7 B + 3 C
6 B + 4 C
5 B + 5 C
4 B + 6 C
3 B + 7C
2 B + 8 C
1 B + 9 C
0 B + 10 C

Czyli \(\displaystyle{ \Omega_1=\{0,1,2,\ldots10\}}\) (zdarzenie elementarne to liczba kul czarnych). To nie jest źle, ale moim zdaniem lepiej będzie tak określić \(\displaystyle{ \Omega}\), żeby był schemat klasyczny. W tym celu należy rozróżniać kule.

Na przykład \(\displaystyle{ \Omega_1=\{A\subset \{B_1,B_2,\ldots B_{30},C_1,\ldots C_{15}\}:|A|=10\}}\) (zdarzenie elementarne to podzbiór dziesięcioelementowy ustalonego zbioru składającego się z trzydziestu kul białych i piętnastu czarnych).-- 11 maja 2012, o 10:40 --Zakładam że losujemy bez zwracania, bo w przeciwnym wypadku nie rozumiem czegoś w treści.

[ziemowit]

Tak,

oprócz tego mamy jeszcze \(\displaystyle{ {Omega_2}}\), czyli \(\displaystyle{ \Omega_2=\{A\subset \{B_1,B_2,\ldots B_{20},C_1,\ldots C_{30}\}:|A|=10\}}\)

I teraz pytanie brzmi, jak oba te zdarzenia połączyc w jedno.

Oba punkty nazezy zrobic i ze zwracaniem i bez (tresc jest w 1 poscie)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ |\Omega_1\times\Omega_2|=|\Omega_1|\cdot|\Omega_2|.}\)

Jeszcze musisz policzyć, ile jest zdarzeń sprzyjających. Jak wyglądają zdarzenia sprzyjające?

Oba punkty nazezy zrobic i ze zwracaniem i bez (tresc jest w 1 poscie)

Tak, jest napisane, tylko że wariantu ze zwracaniem nie rozumiem. Losujemy \(\displaystyle{ 10}\) kul ze zwracaniem (nie wiem o co chodzi), czy \(\displaystyle{ 10}\) razy po jednej kuli ze zwracaniem (wtedy trzeba jeszcze coś zmienić w treści).

[ziemowit]

Wydawało mi się, że napisałem zdarzenia sprzyjające... Mam na mysli

W urnie nr 1
10 (B)iałych + 0 (C)zarnych
9 B + 1 C
8 B + 2 C
7 B + 3 C
6 B + 4 C
5 B + 5 C
4 B + 6 C
3 B + 7C
2 B + 8 C
1 B + 9 C
0 B + 10 C

w urnie nr 2
10 (C)zarnych + 0 (B)iałych
9 C + 1 B
8 C + 2 B
7 C + 3 B
6 C + 4 B
5 C + 5 B
4 C + 6 B
3 C + 7 B
2 C + 8 B
1 C + 9 B
0 C + 10 B

ale ponieważ wynik zależy od obu urn powiedziałbym, że zdarzeń sprzyjających jest razem 11 - losowanie z urny 1 i 2 muszą tworzyć pary, gdzie jest 10 kul białych i czarnych, a tkich kombinacji jest 11.

Co do treści - przepraszam, sądziełem, że jest jasne.
a) Losujemy wyciągając po 1 kuli bez zwranacania.
b) losujemy jedną kulę, ogladamy wynik i wkładamy do środka.

w obu przypadkach najpierw losowanie 10 kul z 1 urny, po czym losowanie koilejnych 10 z 2.

Mam nadzieje, że teraz lepiej?

[norwimaj]

ale ponieważ wynik zależy od obu urn powiedziałbym, że zdarzeń sprzyjających jest razem 11 - losowanie z urny 1 i 2 muszą tworzyć pary, gdzie jest 10 kul białych i czarnych, a tkich kombinacji jest 11.

Nie ma sensu liczenie liczby zdarzeń w modelu nieklasycznym, czyli takim jak wcześniej. Przy tym wyborze \(\displaystyle{ \Omega}\), jaki mamy przykładem zdarzenia sprzyjającego jest

\(\displaystyle{ (\{B_1,B_2,B_6,C_2,C_3,C_5,C_7,C_8,C_{11},C_{13}\},
\{B_4,B_5,B_7,B_8,B_9,B_10,B_11,C_4,C_{11},C_{13}\})}\).

Jest to inne zdarzenie niż na przykład zdarzenie sprzyjające

\(\displaystyle{ (\{B_1,B_3,B_6,C_2,C_3,C_5,C_7,C_8,C_{11},C_{13}\},
\{B_4,B_5,B_7,B_8,B_9,B_10,B_11,C_4,C_{11},C_{13}\})}\).

Musisz policzyć, ile jest takich zdarzeń sprzyjających.

w obu przypadkach najpierw losowanie 10 kul z 1 urny, po czym losowanie koilejnych 10 z 2.

To chyba nie losowanie dziesięciu kul, tylko dziesięć razy po jednej kuli. Sama liczba wylosowanych kul może być mniejsza, na przykład gdy za każdym razem wylosujemy tę samą kulę.

Poza tym trzeba jeszcze zmienić

a) \(\displaystyle{ 10}\) kul białych i \(\displaystyle{ 10}\) czarnych, jeżeli losowaliśmy \(\displaystyle{ 10}\) kul z urny 1 i \(\displaystyle{ 10}\) z urny 2

na:

a) wylosowano \(\displaystyle{ 10}\) razy kulę białą i \(\displaystyle{ 10}\) razy czarną, jeżeli losowaliśmy \(\displaystyle{ 10}\) razy z urny 1 i \(\displaystyle{ 10}\) z urny 2

Dopiero wtedy treść będzie dla mnie zrozumiała.

[ziemowit]

zmieniłem treść nie będę się kłocił o semantyke mimo, że dla mnie to jedno i to samo.

A tu wróciliśmy do punktu wyjścia ponieważ nie potrafie zapisać/wyliczyć, że zdarzeniami sprzyjającymi jest wylosowanie z pierwszej urny:
\(\displaystyle{ 1}\) białej kuli lub \(\displaystyle{ 2}\) białych kul, lub \(\displaystyle{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.}\) chyba, że należy to zapisać jako
\(\displaystyle{ {10 \choose 1} \cdot \frac{30}{45}^{1} \cdot \frac{15}{45} ^{9} + \\
{10 \choose 2} \cdot \frac{30}{45}^{2} \cdot \frac{15}{45} ^{8} + \\
{10 \choose 3} \cdot \frac{30}{45}^{3} \cdot \frac{15}{45} ^{7}}\)

itd, az do \(\displaystyle{ 10}\) bialych i \(\displaystyle{ 0}\) czarnych?

Tak samo zrobiłbym z 2 urną....i co dalej? Wyniki dodawać, mnożyć?

[norwimaj]

Zmierzasz w dobrym kierunku. Podzieliłeś zdarzenie losowe na \(\displaystyle{ 11}\) rozłącznych zdarzeń losowych (nie elementarnych). Pierwszym z nich jest wylosowanie \(\displaystyle{ 0}\) kul białych i \(\displaystyle{ 10}\) czarnych z pierwszej urny oraz \(\displaystyle{ 10}\) białych i \(\displaystyle{ 0}\) czarnych z drugiej. Moc takiego zdarzenia to iloczyn

\(\displaystyle{ \left( \binom{30}0\cdot\binom{15}{10} \right) \cdot \left(\binom{20}{10}\cdot\binom{30}0\right)=
\binom{30}0\cdot\binom{15}{10} \cdot \binom{20}{10}\cdot\binom{30}0.}\)

Jeszcze trzeba policzyć pozostałe przypadki i wszystko dodać.

[ziemowit]

Poczekaj, bo wprawiłes mnie w zakłopotanie...

Jeżeli dobrze zrozumiałem to Twoje wyliczenia to mianownik, który wygląda tak:

\(\displaystyle{ \binom{30}0\cdot\binom{15}{10} \cdot \binom{20}{10}\cdot\binom{30}0}\) +

\(\displaystyle{ \left( \binom{30}1\cdot\binom{15}{9} \right) \cdot \left(\binom{20}{9}\cdot\binom{30}1\right)}\) + itd

itd.
W liczniku natomiast wyliczenia z mojego wczesniejszego postu. Czy tak?
A co z drugim obliczeniem. Potrzebuje ze zwrotami i bez zwrotu...

No i przykład B. Nasunęło mi się, że rozwiązaniem będzie:

Licznik \(\displaystyle{ {30 \choose 10} \cdot {15 \choose 10} + {20 \choose 10} \cdot {30 \choose 10}}\)
Mianownik \(\displaystyle{ {45 \choose 20} + {60 \choose 20}}\)

Potem wszystko razy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) bo takie jest prawdopodobienstwo wyboru 1 alkbo 2 urny.

Zaczynam powoli przestawać rozumieć co napisałem....:/