Prawo 0-1 Kołmogorowa.

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ (X_n)}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych. Udowodnić, że zdarzenia
\(\displaystyle{ \{ \text{istnieje skończona granica}\ \lim_{n \rightarrow \infty} X_n \}}\)
\(\displaystyle{ \{ \limsup_{n \rightarrow \infty} X_n = \infty \}}\)
\(\displaystyle{ \{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{X_1+...+X_n}{n} < a \}}\)
należą do \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\infty}}\), gdzie
\(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\infty} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{n,\infty}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n,\infty}=\sigma(\mathcal{F}_{n},\mathcal{F}_{n+1},...)}\) czyli sigma-ciało generowane przez sigma-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n}}\). Wywnioskować, że wtedy prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń to 0 lub 1.

Z góry dzięki za pomoc.

[janusz47]

Na podstawie Prawa 0-1 Kołmogorowa musisz udowodnić, że prawdopodobieństwa tych zdarzeń są równe 0 lub 1.
Patrz książka: Patrick Billingsley Prawdopodobieństwo i miara PWN Warszawa 1987.

[tometomek91]

A mógłby ktoś to przedstawić?

[dyda_7]

\(\displaystyle{ \{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{X_1+...+X_n}{n} = a \}}\) robi się tak samo jak gdy mamy nierówność?