Liczba \(\displaystyle{ X}\) przeprowadzonych doświadczeń jest losowa i może zmieniać się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \infty}\), przy czym prawdopodobieństwo że będzie równe \(\displaystyle{ k}\) wynosi:
\(\displaystyle{ P\left( X=k\right) = e ^{-\lambda} \frac{\lambda ^{k} }{k!} , \lambda>0}\)
Prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w dowolnym doświadczeniu wynosi \(\displaystyle{ P}\). Znaleźć rozkład liczby uzyskanych sukcesów.
Znaleźć rozkład liczby uzyskanych sukcesów (Poisson)
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Znaleźć rozkład liczby uzyskanych sukcesów (Poisson)
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ Y}\) liczbę uzyskanych sukcesów. Wówczas
\(\displaystyle{ P(Y = k) = \sum_{l=0}^{\infty} P(Y=k | X = l) \cdot P(X = l) = \sum_{l=0}^{\infty} P(Y=k | X = l) \cdot e^{-\lambda} \frac{\lambda^l}{l!} = e^{-\lambda} \sum_{l=0}^{\infty} {l \choose k}p^k(1-p)^{l-k} \cdot \frac{\lambda^l}{l!} = e^{-\lambda} \sum_{l=k}^{\infty} \frac{l!}{k!(l-k)!}p^k(1-p)^{l-k} \cdot \frac{\lambda^l}{l!} = \frac{e^{-\lambda}}{k!} p^k \sum_{l=k}^{\infty} \frac{1}{(l-k)!}(1-p)^{l-k} \cdot \lambda^l = \frac{e^{-\lambda}}{k!} p^k \cdot \lambda^k \cdot \sum_{l=k}^{\infty} \frac{1}{(l-k)!}(1-p)^{l-k} \cdot \lambda^{l-k} = \frac{e^{-\lambda}}{k!} p^k \cdot \lambda^k \cdot e^{\lambda(1-p)} = e^{-\lambda p} \cdot \frac{\lambda ^k p^k}{k!}}\)
\(\displaystyle{ P(Y = k) = \sum_{l=0}^{\infty} P(Y=k | X = l) \cdot P(X = l) = \sum_{l=0}^{\infty} P(Y=k | X = l) \cdot e^{-\lambda} \frac{\lambda^l}{l!} = e^{-\lambda} \sum_{l=0}^{\infty} {l \choose k}p^k(1-p)^{l-k} \cdot \frac{\lambda^l}{l!} = e^{-\lambda} \sum_{l=k}^{\infty} \frac{l!}{k!(l-k)!}p^k(1-p)^{l-k} \cdot \frac{\lambda^l}{l!} = \frac{e^{-\lambda}}{k!} p^k \sum_{l=k}^{\infty} \frac{1}{(l-k)!}(1-p)^{l-k} \cdot \lambda^l = \frac{e^{-\lambda}}{k!} p^k \cdot \lambda^k \cdot \sum_{l=k}^{\infty} \frac{1}{(l-k)!}(1-p)^{l-k} \cdot \lambda^{l-k} = \frac{e^{-\lambda}}{k!} p^k \cdot \lambda^k \cdot e^{\lambda(1-p)} = e^{-\lambda p} \cdot \frac{\lambda ^k p^k}{k!}}\)