Prawdopodobieństwo- dowód.

[wurjasz]

Witam!
Czy można to zadanie tak rozwiązać?
"Zdarzenia losowe \(\displaystyle{ A, B}\) zawarte w omedze oraz \(\displaystyle{ P(A\cap B')=0,7}\)(\(\displaystyle{ A'}\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B'}\) oznacza zdrzenie przeciwne do \(\displaystyle{ B}\)). Wykaż, że \(\displaystyle{ P(A' \cap B)\le 0,3}\).

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(A\cap B')=P(A)-P(A\cap B)}\)
\(\displaystyle{ 0,7=P(A)-P(A\cap B)}\), czyli \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)-0,7}\).
\(\displaystyle{ P(A'\cap B)\le 0,3}\)
\(\displaystyle{ P(A'\cap B)=P(A)-P(A\cap B)}\), a \(\displaystyle{ P(A' \cap B)\le1}\).
\(\displaystyle{ P(B)-P(A\cap B)\le1}\) \(\displaystyle{ P(B)-P(A)+0,7\le 1}\), czyli
\(\displaystyle{ P(B)-P(A)\le0,3}\), co daje \(\displaystyle{ P(A'\cap B)\le0,3}\)

[Qń]

Gdybyś jeszcze przedstawił jakikolwiek tok rozumowania, zamiast wyłącznie zamieszczać jakieś obliczenia (na oko zresztą błędne), to dałoby się stwierdzić czy tok rozumowania jest poprawny.

Q.

[wurjasz]

Ok przepraszam, nie wiedziałem że to takie wzburzenie u Ciebie wywoła, ale do rzeczy:).

Na początek napisałem, że \(\displaystyle{ P(A\cap B')=P(A)-P(A\cap B)}\). W treści zadania było napisane, że \(\displaystyle{ P(A\cap B')= 0,7}\). Z tego wyznaczyłem sobie \(\displaystyle{ P(A\cap B)= P(A)-0,7.}\). Do wykazania było, że \(\displaystyle{ P(A' \cap B)\le 0,3}\). Stwierdziłem, że \(\displaystyle{ 0 \le P(A' \cap B)\le1}\) (bo prawdopodobieństwo jakiś dwóch zdarzeń nie może być większe od 1 i mniejsze od zera- to tak na logikę wziąłem). Następnie przedstawiłem \(\displaystyle{ P(A' \cap B)=P(B)-P(A\cap B)}\). Potem zapisałem że to musi być mniejsze lub równe 1 i za \(\displaystyle{ P(A\cap B)}\) podstawiłem \(\displaystyle{ P(A)-0,7}\). Wyszło mi: \(\displaystyle{ P(B)-P(A)+0,7\le 1}\), co daje: \(\displaystyle{ P(B)-P(A)\le0,3}\). A \(\displaystyle{ P(B)-P(A)=P(A' \cap B)}\). Mam nadzieje, że mniej więcej wiesz o co mi chodzi:)

Pozdrawiam!

[Qń]

takie wzburzenie u Ciebie wywoła

Wydaje Ci się.

A \(\displaystyle{ P(B)-P(A)=P(A\prime \cap B)}\)

W ogólności jest to nieprawda.

Q.

[wurjasz]

Czyli jest źle?

[Qń]

Tak, jest źle.

Q.

[wurjasz]

Ok:). A możesz mi wytłumaczyć czemu ta równość jest nieprawdziwa, w sensie \(\displaystyle{ P(A' \cap B)=P(B)-P(A)}\). Jak robie to na zbiorach to tak wychodzi...

[Qń]

Pokaż jak "robisz to na zbiorach", to będzie można wskazać błąd. Prawdopodobnie zaś błędnie wydaje Ci się, że \(\displaystyle{ P(B\setminus A)=P(B)- P(A)}\).

Q.

[wurjasz]

Rzeczywiście tak mi się wydawało:). Dzięki za pomoc.