kot i mysz

[kieubass]

Kot i mysz wędrują po kracie \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ n}\) , startują z przeciwległych rogów i zmierzają do rogów przeciwległych. Poruszają się w tym samym tempie i zawsze do przodu. Jeśli spotkają się wygrywa kot, jeśli nie, wygrywa mysza. Jakie jest prawdopodobieństwo dla każdego z nich?

I do tego jest rysunek tej kraty \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ n}\)

Jak zrobić to zadanie? Czy uwzględnić w nim coś z metryką miasto, żeby obliczyć maksymalną ilość ruchów dla każdego \(\displaystyle{ n}\)?

[Jacek_Karwatka]

ciepło coepło
kot i mysz do przejścia mają 2n kroków n w pionie i n w poziomie.
dzieli ich 2n kroków
mogą się spotkać tylko po wykonaniu n kroków każde.
dodatkowo suma kroków kota i myszy w pionie (i w poziomie) musi się równać n
zakładając ze wybór następnego kroku (pion czy poziom) jest losowy to prawdopodobieństwo tego ze k z pośród wykonanych n kroków jest poziome wynosi:

\(\displaystyle{ P(k)= {n \choose k} \frac{1}{2} ^{k} \frac{1}{2} ^{n-k} ={n \choose k} \frac{1}{2} ^{n}}\)

zakładając że wybory kota i myszy są niezależne prawdopodobieństwo tego ze ze się spotkają na pozycji k tzn. kot wykona k kroków w pionie z n, a mysz n-k w pionie z n wynosi:

\(\displaystyle{ P(k,n-k) = P(k)P(n-k)={n \choose k} \frac{1}{2} ^{n}{n \choose n-k} \frac{1}{2} ^{n}={n \choose k}{n \choose n-k} \frac{1}{2} ^{2n}}\)

ogólnie prawdopodobieństwo spotkania na jakiejkolwiek pozycji to suma:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{k=n} P(k)P(n-k)= \frac{1}{2} ^{2n} \sum_{k=0}^{k=n} {n \choose k}{n \choose n-k}}\)

można wykazać ze:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{k=n} {n \choose k}{n \choose n-k}= {2n \choose n}}\)

stąd:

\(\displaystyle{ P(spotkania) = {2n \choose n} \frac{1}{2} ^{2n}}\)

[fon_nojman]

Jacek_Karwatka w swoim rozwiązaniu rozważasz tylko n kroków kota i n kroków myszy. Czy to jest prawidłowe rozumowanie skoro każde z nich ma w sumie 2n kroków do przejścia? Nigdzie to nie jest uwzględnione. Wydaje mi się, że wtedy wynik zmieni się.

[Jacek_Karwatka]

Idą tym samym tempem z przeciwnych stron, kot i mysz mogą się spotkać tylko się w połowie drogi - po wykonaniu \(\displaystyle{ n}\) kroków przez każde z nich. Warunkiem spotkania się jet to, że oboje w sumie wykonają w pionie (oraz w poziomie) dokładnie \(\displaystyle{ n}\) kroków.
Zakładam (co nie jest jasno powiedziane w zadaniu) że kot i mysz, poruszając się zawsze do przodu, wybierają losowo kierunek następnego kroku ( w pionie czy w poziomie) z jednakowym prawdopodobieństwem z \(\displaystyle{ p=0,5}\).