wartość oczekiwaana liczby rzutów

[Fredi]

Zadanie:
Rzucamy kostką, aż do momentu wypadnięcia piątki i parzystej liczby oczek (łącznie, niekoniecznie pod rząd). Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby rzutów.

Do zadania została dana wskazówka: niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę rzutów. Warto obliczyć najpierw \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \ge k)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2....}\)

Ja myślałem raczej o jakimś rozbiciu \(\displaystyle{ X=X_{1}+X_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}}\) oznaczają długość oczekiwania na kolejny dobry wynik (czyli na piątkę lub liczbę parzystą), tylko z tego jakoś nie za bardzo chce wyjść, a dla wskazówki niestety nie mogę znaleźć zastosowania.

Z góry dziękuję za pomoc

[octahedron]

Wyznaczmy szansę, że w \(\displaystyle{ k}\) rzutach się nie uda \(\displaystyle{ P(X>k)}\).

Nie wypadła żadna parzysta: \(\displaystyle{ P_p=\left( \frac{1}{2}\right)^k}\)

Nie wypadła żadna piątka: \(\displaystyle{ P_5=\left( \frac{5}{6}\right)^k}\)

Nie wypadła ani parzysta, ani piątka: \(\displaystyle{ P_{p5}=\left( \frac{1}{3}\right)^k}\)

\(\displaystyle{ P(X>k)=P_p+P_5-P_{p5}=\left( \frac{1}{2}\right)^k+\left( \frac{5}{6}\right)^k-\left( \frac{1}{3}\right)^k}\)

\(\displaystyle{ P(X=k)=P(X>k)-P(X>k+1)\\\\
E(X)=\sum_{k=2}^\infty kP(X=k)}\)