Z pudełka , w którym jest dwa razy więcej kul czarnych niż białych wyjmujemy losowo dwa razy po jednej kuli. Po każdym losowaniu wkładamy wylosowaną kulę z powrotem do pudełka i dokładamy jeszcze jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana. Oblicz, ile było kul w pudełku przed losowaniem, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów jest równe 5/12.
odp; 15
kulki w pudle
-
hurray
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 19 wrz 2011, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: małopolska
kulki w pudle
Najwygodniej zrobić to drzewkiem, ale postaram się opisać: mamy \(\displaystyle{ 2n}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ n}\) kul białych. Razem: \(\displaystyle{ 3n}\).
Losując po raz pierwszy pula kul to \(\displaystyle{ 3n}\), kulę czarną możemy w takim razie wylosować na: \(\displaystyle{ \frac{2n}{3n} = \frac{2}{3}}\) sposobów a kulę białą na: \(\displaystyle{ \frac{1n}{3n} = \frac{1}{3}}\).
Losując po raz drugi niezależnie którą kulę wylosowaliśmy musimy dołożyć jedną, więc pula wynosi: \(\displaystyle{ 3n + 1}\).
W przypadku kiedy wylosowaliśmy za pierwszym razem kulę czarną, dołożyliśmy właśnie ten kolor, więc liczba białych nie zmienia się(a te nas interesują, bo szukamy kul przeciwnego koloru niż za pierwszym razem). W takim układzie(gdy wylosowaliśmy wcześniej kulę czarną) mamy: mamy \(\displaystyle{ 2n+1}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ n}\) kul białych. Razem: \(\displaystyle{ 3n+1}\).
Prawdopodobieństwo wylosowania białej to \(\displaystyle{ \frac{n}{3n+1}}\)
Gdy najpierw wylosowaliśmy kulę białą(drugi przypadek) mamy: \(\displaystyle{ 2n}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ n+1}\) kul białych. Razem: \(\displaystyle{ 3n+1}\).
Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej to \(\displaystyle{ \frac{2n}{3n+1}}\)
Suma obu przypadków wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2n}{3n+1} = \frac{4n}{9n+3}}\) teraz zostaje nam to przyrównać do \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\) i mamy: \(\displaystyle{ \frac{4n}{9n+3} = \frac{5}{12} \Rightarrow n=5}\)
A więc: \(\displaystyle{ 3n=15}\)
Losując po raz pierwszy pula kul to \(\displaystyle{ 3n}\), kulę czarną możemy w takim razie wylosować na: \(\displaystyle{ \frac{2n}{3n} = \frac{2}{3}}\) sposobów a kulę białą na: \(\displaystyle{ \frac{1n}{3n} = \frac{1}{3}}\).
Losując po raz drugi niezależnie którą kulę wylosowaliśmy musimy dołożyć jedną, więc pula wynosi: \(\displaystyle{ 3n + 1}\).
W przypadku kiedy wylosowaliśmy za pierwszym razem kulę czarną, dołożyliśmy właśnie ten kolor, więc liczba białych nie zmienia się(a te nas interesują, bo szukamy kul przeciwnego koloru niż za pierwszym razem). W takim układzie(gdy wylosowaliśmy wcześniej kulę czarną) mamy: mamy \(\displaystyle{ 2n+1}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ n}\) kul białych. Razem: \(\displaystyle{ 3n+1}\).
Prawdopodobieństwo wylosowania białej to \(\displaystyle{ \frac{n}{3n+1}}\)
Gdy najpierw wylosowaliśmy kulę białą(drugi przypadek) mamy: \(\displaystyle{ 2n}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ n+1}\) kul białych. Razem: \(\displaystyle{ 3n+1}\).
Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej to \(\displaystyle{ \frac{2n}{3n+1}}\)
Suma obu przypadków wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2n}{3n+1} = \frac{4n}{9n+3}}\) teraz zostaje nam to przyrównać do \(\displaystyle{ \frac{5}{12}}\) i mamy: \(\displaystyle{ \frac{4n}{9n+3} = \frac{5}{12} \Rightarrow n=5}\)
A więc: \(\displaystyle{ 3n=15}\)