Prawdopodobieństwo ilorazu A i B' mniejsze od..

[adamino]

Witam,
mam takie zadanie:

A i B są zdarzeniami losowymi zawartymi w OMEGA. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ P(A)=0,9}\) i \(\displaystyle{ P(B)=0,7}\) ,

to \(\displaystyle{ P(A \cap B')\le 0,3}\)

było ono już na forum i wiem że można je łatwo rozwiązać, ale chciałbym się Was spytać czy moje rozwiązanie jest poprawne

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=1,6-P(A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \ge 0,6}\) ponieważ \(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) nie może być większe od 1

Z diagramu Venna wynika, że:
\(\displaystyle{ P(A)-P(A \cap B)=P(A \cap B')}\)
Teraz zakładam, że teza jest prawdziwa czyli:
\(\displaystyle{ 0,9-P(A \cap B) \le 0,3}\)
\(\displaystyle{ -P(A \cap B) \le -0,6}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \ge 0,6}\) co jest prawdą, bo otrzymałem taką zależność parę linijek wcześniej.
I teraz proszę o poradę, czy taki sposób dowodzenia, przez założenie tezy i sprowadzenie jej do prawdziwego zdania, jest poprawny?

Mógłbym co prawda przeprowadzić dowód nie wprost i przyjąć że teza nie jest prawdziwa i sprowadzić do sprzeczności. Ale chciałbym wiedzieć czy mogę rozumować tak jak przy tym zadaniu

Pozdrawiam

[leapi]

rozumowanie jest jak najbardziej poprawne, jak chcesz nadać formalizm dowodowi, to można zapisać

tak:

\(\displaystyle{ P(A\cap B)\geq 0,6 \Leftrightarrow -P(A\cap B)\leq -0,6 \Leftrightarrow 0,9-P(A\cap B)\leq 0,9-0,6 \Leftrightarrow P(A)-P(A\cap B)\leq 0,3 \Leftrightarrow P(A\cap B^{\prime})\leq 0,3}\)

co nie zmienia faktu, że zapis ten jaki ty wykonałeś od końca do początku jest równie poprawny

[adamino]

Dzięki

[norwimaj]

Mógłbym co prawda przeprowadzić dowód nie wprost i przyjąć że teza nie jest prawdziwa i sprowadzić do sprzeczności.

Myślę że i tak zbytnio się rozpisałeś na tak prosty temat. Ja bym nie umiał tu napisać rozwiązania dłuższego niż to:

\(\displaystyle{ A\cap B' \subset B' \Longrightarrow \mathbb{P}( A\cap B')\le \mathbb{P}(B') = 1- \mathbb{P}(B)=1-0{,}7=0{,}3}\).