Przeliczalna przestrzeń stanów, dobranie stałej do wzoru

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
namruf15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kudowa Zdrój
Podziękował: 4 razy

Przeliczalna przestrzeń stanów, dobranie stałej do wzoru

Post autor: namruf15 »

Niech Ω = {ω n , n = 1, 2, . . .}, F = 2 Ω . Weźmy ciąg p n = c3^(−n) , n = 1, 2, . . .. Dobrać stałą c tak,
aby ciąg (p n ) określał prawdopodobieństwo P na zbiorze Ω tak, że p n = P({ω n }). Obliczyć
P({ω 3 , . . . , ω 9 }).

Oto moje rozwiązanie:

Nasz ciąg musi spełniać dane warunki według definicji:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } p_{n} = 1}\)

oraz

\(\displaystyle{ p_{n} \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ n = \{1,2,3...\}}\)

\(\displaystyle{ P\{w_{n}\} = \sum_{n = 1}^{ \infty }p_{n} = c\sum_{n = 1}^{ \infty } (\frac{1}{3})^{n} = \frac{c}{1 - \frac{1}{3} } = 1}\)

czyli

\(\displaystyle{ c = \frac{2}{3}}\)

Dalej:

\(\displaystyle{ P\{w_{3}...w_{9}\} = 2\cdot \sum_{n = 1}^{7} (\frac{1}{3})^{n + 1}}\)

Czy to prawidłowe rozwiązanie?

Pozdrawiam
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Przeliczalna przestrzeń stanów, dobranie stałej do wzoru

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ P\{w_{3}...w_{9}\} = 2\cdot \sum_{n = 3}^{9} \left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1}}\)
namruf15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 8 sty 2012, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kudowa Zdrój
Podziękował: 4 razy

Przeliczalna przestrzeń stanów, dobranie stałej do wzoru

Post autor: namruf15 »

A dlaczego 9? Musimy przecież przeliczyć jedynie 7 różnych stanów od \(\displaystyle{ w_{3}}\) do \(\displaystyle{ w_{9}}\). Chyba, że się mylę, więc proszę o wyjaśnienie .

EDIT

Mój błąd, za szybko umieściłem posta, już rozumiem, dziękuję
ODPOWIEDZ