Wykazać, ze jeżeli dla zmiennych losowych zachodzą zależności
\(\displaystyle{ P(X \le 10) = 0,99}\)
\(\displaystyle{ P(\left| Y \right| \le 1) = 0,95}\)
to dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X + Y}\) zachodzi
\(\displaystyle{ 0.85 \le Pr(Z \le 11)}\)
\(\displaystyle{ Pr(Z \ge 9) \le 0.95}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
Zmienne losowe - nierówności
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Zmienne losowe - nierówności
można wykazać mocniejsze oszacowanie
\(\displaystyle{ P(Z \le 11) \ge 0.94 \ge 0.85}\)
\(\displaystyle{ P(Y \le 1) \ge 0.95}\)
\(\displaystyle{ P(Y > 1) \le 0.05}\)
\(\displaystyle{ P(Z \le 11) \ge P(X \le 10 \wedge Y \le 1) =P(X \le 10)-P(X \le 10 \wedge Y > 1) \ge P(X \le 10)-P( Y\ > 1) = 0.99-0.05 = 0.94}\)
Druga nierówność jest fałszywa
np dla rozkładów dyskretnych spełniających warunki zadania:
\(\displaystyle{ P(X=9.5)=0.99, P(X=10.5)=0.01}\)
\(\displaystyle{ P(Y=0.5)=0.95, P(Y=1.5)=0.05}\)
suma zmiennych losowych jest zawsze większa od 9
\(\displaystyle{ P(X+Y \ge 9)=1.0}\)
\(\displaystyle{ P(Z \le 11) \ge 0.94 \ge 0.85}\)
\(\displaystyle{ P(Y \le 1) \ge 0.95}\)
\(\displaystyle{ P(Y > 1) \le 0.05}\)
\(\displaystyle{ P(Z \le 11) \ge P(X \le 10 \wedge Y \le 1) =P(X \le 10)-P(X \le 10 \wedge Y > 1) \ge P(X \le 10)-P( Y\ > 1) = 0.99-0.05 = 0.94}\)
Druga nierówność jest fałszywa
np dla rozkładów dyskretnych spełniających warunki zadania:
\(\displaystyle{ P(X=9.5)=0.99, P(X=10.5)=0.01}\)
\(\displaystyle{ P(Y=0.5)=0.95, P(Y=1.5)=0.05}\)
suma zmiennych losowych jest zawsze większa od 9
\(\displaystyle{ P(X+Y \ge 9)=1.0}\)