W pudełku jest

[ania2121]

w pudełku jest 6 detali I gatunku i 4 detale 2 gatunku. Wybrano losowo bez zwracania 5 detali. Oblicz prawdopodobieństwo że 3 z nich są pierwszego gatunku a 2 drugiego. Wiem że cały zbiór składa się z 10 elementów, z czego wynika że prawdopodobieństwo wylosowania detalu 1 klasy wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\) zaś drugiej \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\). Ale co dalej?

[mat_61]

Wskazówka:

Masz na początek obliczyć moc zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) czyli ilość wszystkich możliwych wyborów 5 elementów ze zbioru 10-elementowego oraz moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) czyli ilość możliwych wyborów spełniających warunki podane w zadaniu.

[ania2121]

Czyli to będzie tak?
\(\displaystyle{ \Omega= \frac{10!}{5!(10-5)!}=252}\)
\(\displaystyle{ A= {3 \choose 6}+ {2 \choose 4}= \frac{6!}{3!(6-3)!}+ \frac{4!}{2!(4-2)!}=20+6=26}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{A}{\Omega}= \frac{26}{252} \approx 10,3 \%}\)
ale to i tak za dużo wg mnie.. .

[Namarie]

Czyli to będzie tak?
\(\displaystyle{ \Omega= \frac{10!}{5!(10-5)!}=252}\)

Omega jest policzona dobrze, natomiast w mocy zbioru A jest błąd, ponieważ symbole Newtona sa po pierwsze zapisane na odwrót, a po drugie zamiast dodawania powinno być mnożenie.
\(\displaystyle{ A= {6 \choose 3}{4\choose 2}= 20 \cdot 6 = 120}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{A}{\Omega}= \frac{120}{252} = 0.4761905}\)
I jeszcze jedno: prawdopodobieństwa nigdy nie przedstawia się w postaci procentów.

[ania2121]

Dzięki za pomoc. ale na pewno to nie jest za dużo?

[loitzl9006]

Nie jest za dużo.
Tutaj masz mieć spełnione dwa warunki: \(\displaystyle{ 3}\) detale I-go gatunki i jednocześnie \(\displaystyle{ 2}\) detale II-go gatunku.
Jeżeli jest kilka warunków (które muszą być spełnione, aby zaszło zdarzenie sprzyjające) to używamy mnożenia. (w omawianym zadaniu są dwa warunki - na ilość detali pierwszego gatunku i na ilość det. II-go gat.).
Jeżeli jest kilka wariantów, przy których jest spełnione zdarzenie sprzyjające, to używamy dodawania.
Np. (zmieniając treść zadania) załóżmy, że szukamy prawdopodobieństwa zdarzenia że wylosujemy przynajmniej \(\displaystyle{ 3}\) detale II-go gatunku. Tutaj są dwa warianty:

Pierwszy: wylosujemy trzy (z czterech) detale II-gat i dwa (z sześciu) detale I-gat

Drugi: cztery (z czterech) detale II-gat i jeden (z sześciu) detal I-gat

Zapisujemy

\(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {6 \choose 2} + {4 \choose 4} \cdot {6 \choose 1}}\)

i dzielimy przez omegę.

[ania2121]

Dzięki za pomoc. Zaczynam rozumieć