Prawdopodobieństwo turyści

[pini]

Do miasta, w którym są cztery hotele przyjechało 12 turystów. Każdy turysta losowo wybiera hotel. jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym hotelu zamieszkają po trzy osoby (z tej grupy turystów)?

Proszę o dokładne wytłumaczenie i rozwiązanie tego zadania.
Pozdrawiam.

[Majeskas]

Każdy turysta wybiera 1 z 4 hoteli, turystów jest 12, zatem jako \(\displaystyle{ \Omega}\) możemy przyjąć zbiór wariacji 4-elementowych zbioru 12-elementowego.
\(\displaystyle{ |\Omega|=4^{12}}\)

W zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\) każdy hotel muszą wybrać dokładnie 3 osoby. Wybieramy więc 3 osoby z 12 i wysyłamy je do wybranego hotelu, potem 3 osoby z 9 do kolejnego, itd.
Stąd

\(\displaystyle{ \mathbb P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{ {12 \choose 3}\cdot {9 \choose 3}\cdot {6 \choose 3}}{4^{12}}}\)

[pini]

Myślę, że zdarzenie \(\displaystyle{ |A|}\) należy pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3!}\).

[Majeskas]

Dlaczego?

[witek1902]

Najpierw wybieramy 1 z 4 hoteli kombinacją i 3 osoby z 12 kombinacją (są to te osoby, które będą w nim mieszkać).
1 hotel z 3 kombinacją i 3 osoby z 9 kombinacją.
1 hotel z 2 kombinacją i 3 osoby z 6 kombinacją.
1 hotel z 1 kombinacją i 3 osoby z 3 kombinacją.

Myślę, że dopiero wtedy wykorzystamy wszystkie możliwości.

[norwimaj]

To co napisał Majeskas, jest dobrze. Przy liczeniu \(\displaystyle{ |A|}\) żadnych hoteli nie wybieramy. Wybieramy \(\displaystyle{ 3}\) osoby do pierwszego hotelu, \(\displaystyle{ 3}\) do drugiego, itd.

[witek1902]

Hoteli nie rozróżniamy dlatego, gdyż nie są ponumerowane? Dobrze rozumiem ?

[norwimaj]

Hotele rozróżniamy, bo są ponumerowane. Nawet jeśli numer budynku mają taki sam, to na pewno cały adres czymś się różni. Poza tym trudniej jest rozwiązywać bez rozróżniania hoteli.

[witek1902]

To dlaczego uważasz moją odpowiedź za błędną?

[mat_61]

Po prostu wielokrotnie liczysz takie same rozmieszczenia osób w hotelach jako różne. Wg Twojego sposobu możemy np. tak wybierać kolejne hotele (spośród A, B, C, D) i osoby w nich mieszkające:

B: 1,2,3
D: 4,5,9
C: 6,7,10
A: 8,11,12

Ale możemy też tak:

C: 6,7,10
B: 1,2,3
D: 4,5,9
A: 8,11,12

Wg Twojego sposobu liczenia są to różne wybory choć jak widzisz tak nie jest.

[Majeskas]

Taki sposób liczenia godzi też w pewną intuicję związaną z wynikiem tego prawdopodobieństwa.

\(\displaystyle{ \mathbb P(A)=\frac{5775}{262144}\approx 0{,}02}\)

Licząc sposobem "wybierania hoteli" dostalibyśmy

\(\displaystyle{ \mathbb P(A)=\frac{17325}{32768}\approx 0{,}53}\)

co wydaje się (przynajmniej mnie) zbyt wysoką szansą na równomierne zapełnienie hoteli, biorąc pod uwagę ilość wariantów.