Pudełko losowanie

pini · Post autor: **pini** » 25 kwie 2012, o 22:57

W pudełku znajduje się 15 par rękawiczek, wśród których dowolne dwie pary różnią się od siebie. Z tego pudełka wybieramy losowo cztery rękawiczki.
a) Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A- wśród wylosowanych rękawiczek są dwie pary.

Proszę o bardzo dokładne wytłumaczenie tego zadania.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 25 kwie 2012, o 23:06

Problem tutaj jest jaki? Gdybyśmy jedną rękawiczkę losowali to jakby to wyglądało w a) ?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 25 kwie 2012, o 23:10

a) Rozumiem, że wybieramy \(\displaystyle{ 4}\) rękawiczki naraz czyli \(\displaystyle{ \Omega}\) to czteroelementowe kombinacje ze zbioru trzydziestoelementowego.

\(\displaystyle{ |\Omega|= {30 \choose 4}.}\)

Oczywiście model klasyczny.

b) Ile jest takich możliwości? Wybieramy dwie pary spośród piętnastu czyli

\(\displaystyle{ |A|= {15 \choose 2}.}\)

pini · Post autor: **pini** » 25 kwie 2012, o 23:34

fon_nojman nadal nie rozumiem tego zadania.
Ja to rozumiem w ten sposób\(\displaystyle{ |\Omega|= { 30 \choose 4}}\)
\(\displaystyle{ |A|={15 \choose 2} \cdot {15 \choose 2}}\)
bo 2 pary to 4 rękawiczki.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 25 kwie 2012, o 23:57

Oczywiście mój błąd, \(\displaystyle{ |\Omega|}\) jest taka jak napisałaś.

\(\displaystyle{ |A|}\) jest dobrze u mnie bo to właściwie jak wybieranie dwóch różnych rękawiczek. Jeżeli wybierzemy jedną danej pary to drugą z tej pary już musimy automatycznie wybrać.

pini · Post autor: **pini** » 26 kwie 2012, o 00:04

Nadal nie rozumiem A.
Ja to rozumiem następująco: musimy wylosować 2 z tych piętnastu i 2 z drugich piętnastu, aby mieć pary.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 26 kwie 2012, o 00:20

To wypiszmy sobie zdarzenia sprzyjające \(\displaystyle{ A.}\)

\(\displaystyle{ L_1, P_1}\) to rękawiczki odpowiednio lewa i prawa pierwszej pary, analogicznie \(\displaystyle{ L_i, P_i,\ i=1,\ldots ,15.}\)

\(\displaystyle{ A=\{ \{L_1,P_1,L_2,P_2\}, \{L_1,P_1,L_3,P_3\},\ldots , \{L_{14},P_{14},L_{15},P_{15}\} \},}\)

zbiorowi \(\displaystyle{ \{L_1,P_1,L_2,P_2\}}\) można przyporządkować zbiór \(\displaystyle{ \{1,2\},}\) tak samo zbiorowi \(\displaystyle{ \{L_1,P_1,L_3,P_3\}}\) zbiór \(\displaystyle{ \{1,3\}}\) itd.

Widać teraz, że polega to na wyborze dwóch liczb z piętnastu.

pini · Post autor: **pini** » 26 kwie 2012, o 00:25

Nadal rozumiem to inaczej.
By otrzymać parę musimy wylosować 2 lewe rękawiczki, czyli 2 z 15 lewych i 2 prawe rękawiczki, czyli 2 z 15, wobec czego otrzymujemy; \(\displaystyle{ {15\choose 2} \cdot {15 \choose 2}}\).

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 26 kwie 2012, o 00:37

Za dużo zdarzeń masz wtedy np \(\displaystyle{ \{L_1,L_2,P_3,P_4\}}\) którego nie chcemy dostać.

pini · Post autor: **pini** » 26 kwie 2012, o 00:51

Nie widzę różnicy w tym czy dostaję \(\displaystyle{ {L _{1}, L _{2}, P _{3}, P _{4}}}\), bo do \(\displaystyle{ L _{1}}\) pasuje \(\displaystyle{ P _{3}}\). Chodzi tylko o dobranie lewej do prawej. Nie widzę różnicy, której prawej.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 26 kwie 2012, o 00:59

To już widzę dlaczego mamy problem z dojściem do wspólnego rozwiązania.

Co to znaczy, że mamy parę? Ja rozumiem to tak jak pisałem musi być prawa i lewa tego samego rodzaju czyli \(\displaystyle{ L_1,P_1}\) a u Ciebie po prostu \(\displaystyle{ L_i,P_j.}\) Myślę, że moja interpretacja jest poprawna bo w zadaniu jest założone, że dowolne dwie pary różnią się od siebie.

Oczywiście przy Twojej interpretacji Twoje rozwiązanie jest dobre.

pini · Post autor: **pini** » 26 kwie 2012, o 01:06

Czyli jedna para jest zielona, druga czerwona?
Ok. Rozumiem już Twój sposób myślenia
Chyba się jednak i tak pogubiłam. Dlaczego wobec tego moc zdarzenia to 2 z 15?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 26 kwie 2012, o 01:10

Tak bym robił, że jedna para zielona druga czerwona. Czyli mamy 15 kolorów i musimy wybrać dwa spośród 15 kolorów, stąd 2 z 15. Wcześniej pisałem to na liczbach.

pini · Post autor: **pini** » 26 kwie 2012, o 01:12

Moim zdaniem \(\displaystyle{ {15\choose 2}}\) by było wtedy, gdyby wszystkie były jednakowe i moje zadanie polegałoby byłoby na wylosowaniu 1 pary.

-- 26 kwi 2012, o 01:15 --

fon_nojman pisze:Tak bym robił, że jedna para zielona druga czerwona. Czyli mamy 15 kolorów i musimy wybrać dwa spośród 15 kolorów, stąd 2 z 15. Wcześniej pisałem to na liczbach.

Ok. 2 z pośród tych 15 kolorów i oprócz tego 2 z pośród drugich 15.-- 26 kwi 2012, o 01:20 --Dobranoc.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 26 kwie 2012, o 12:56

Spróbuje inaczej wytłumaczyć. Losujemy dwie rękawiczki lewe, zieloną i czerwoną czyli \(\displaystyle{ {15 \choose 2}}\) możliwości. Teraz żeby nasze zdarzenie należało do \(\displaystyle{ A}\) musimy mieć dwie prawe, czerwoną i zieloną ale jest tylko jedna prawa zielona i jedna prawa czerwona czyli \(\displaystyle{ 1\cdot 1.}\) W sumie mamy \(\displaystyle{ {15 \choose 2}\cdot 1\cdot 1}\) możliwości.