Prawdopodobieństwo warunkowe całkowite tw. Bayes'a - zadania

[Baby eS]

Proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązań:
1. Z talii 52 kart losujemy karty bez zwracania. Jakie jest prawd. wylosowania pika w szóstym
losowaniu?

Odp.:
Wydaje mi się, że trzeba tu skorzystać z tw. o prawdop. całkowitym.
Na przestrzeń składają się zdarzenia:
H0 - wylosowano 0 pików w 5 kartach
H1 - wylosowano 1 pika w 5 kartach
H2 - wylosowano 2 piki w 5 kartach
...
H5 - wylosowano 5 pików w 5 kartach

A - wylosowanie pika jako szóstej karty
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H0) \cdot P(H0)+P(A|H1) \cdot P(H1)+P(A|H2) \cdot P(H2)+...+P(A|H5) \cdot P(H5)= \frac{{13\choose 1} \cdot {39\choose 5}}{{52\choose 6}} \cdot \frac{{39\choose 5}}{{52\choose 5}} +...+\frac{{13\choose 6} }{{52\choose 6}} \cdot \frac{{13\choose 5}}{{52\choose 5}}}\)
Czyli generalni chodzi mi o to, że mnożę prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia że wylosowałam 6. kartę - pik, przy założeniu że wcześniejsze 5 pikami nie było razy prawdopodobieństwo wylosowania 5 kart nie będących pikami i dodaje do tego każdy następny przypadek (o 1 pik więcej). Czy tak to ma być?

2.Jeden z dużych banków przeprowadził badania, z których wynikało, że wśród pracowników 20%
skończyło studia. Spośród tej grupy 75% zajmuje stanowiska kierownicze. Okazuje się, również, że
20% etatów kierowniczych zajmują osoby bez ukończonych studiów. Jakie jest prawd. że losowo
wybrany kierownik jest absolwentem uczelni?

Używałam tw. Bayesa
H1 - ukończył studia
H2 - nie ukończył
A - jest kierownikiem
\(\displaystyle{ P(H1|A)}\) - prawdopodobieństwo że jest kierownikiem przy czym ma wyższe wykształcenie
\(\displaystyle{ P(H1|A)= \frac{P(A|H1) \cdot P(H1)}{P(A|H1) \cdot P(H1)+P(A|H2) \cdot P(H2)}=\frac{0,75 \cdot 0,2}{0,75 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,8}}\)

3.W pewnej fabryce 4 linie produkcyjne wytwarzają ten sam produkt. Linie te wykonują
odpowiednio: 10%, 20%, 25% oraz 45% ogólnej produkcji. Liczba wadliwych produktów dla
poszczególnych linii wynosi: 0.001, 0.0005, 0.005 oraz 0.002. W badaniach jakości jeden z produktów
został wybrany losowo i okazał się być wadliwy. Jakie jest prawd. że pochodził z linii A? (Policz to
samo prawd. dla pozostałych linii).

Podobnie jak wyżej
H1 - linia A
H2 - linia B
H3 - linia C
H4 - linia D
A - produkt wadliwy
\(\displaystyle{ P(H1|A)= \frac{P(A|H1) \cdot P(H1)}{P(A|H1) \cdot P(H1) + P(A|H2) \cdot P(H2) + P(A|H3) \cdot P(H3) + P(A|H4) \cdot P(H4)}= \frac{0,001 \cdot 0,1}{0,001 \cdot 0,1 + 0,0005 \cdot 0,2 + 0,005 \cdot 0,25 + 0,002 \cdot 0,45}}\)

Czy wszystko jest ok?

[mat_61]

1) Pomysł dobry, obliczenia nie bardzo:

\(\displaystyle{ A/H0}\): wylosowano pika za szóstym razem pod warunkiem, że w pierwszych pięciu losowaniach nie wylosowano pika.

Skoro w pierwszych pięciu losowaniach nie wylosowano pika, to zostało \(\displaystyle{ 47}\) kart i wśród nich \(\displaystyle{ 13}\) pików. Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A/H0)}\) wynosi więc:

\(\displaystyle{ P(A/H0)= \frac{13}{47}}\)

2) 3) Z tego co widzę jest OK.

[Baby eS]

No właśnie nie do końca chwytam wymyślanie tego P(A|H0)... Czyli nie liczę prawdopodobieństwa H0 tylko zakładam, że to już się stało i samo prawdopodobieństwo A w tym wypadku... Bo ja to tak jakbym P(H0) dwa razy domnażała...
Czyli samo \(\displaystyle{ P(A)= \frac{13}{47} \cdot \frac{{39\choose 5}}{{52\choose 5}}...}\)?

[mat_61]

Każdy składnik we wzorze na p-stwo całkowite jest iloczynem dwóch p-stw \(\displaystyle{ P(A/H{i}) \cdot P(H{i})}\)

Drugie z nich jest p-stwem zajścia warunku wynikającego z zadania a pierwsze p-stwem zajścia zdarzenia A liczonym w przypadku gdy warunek \(\displaystyle{ H{i}}\) został spełniony.

To doświadczenie możesz sobie wyobrazić np. w taki sposób:

Masz siedem zestawów kart w tym jedną całą talię oraz sześć zestawów od \(\displaystyle{ H_{0}}\) do \(\displaystyle{ H_{6}}\) z których wyjęto po \(\displaystyle{ 5}\) kart: z zestawu \(\displaystyle{ H_{0}}\) wyjęto zero pików i pięć nie pików, z zestawu \(\displaystyle{ H_{1}}\) wyjęto jednego pika i cztery nie piki itd.

Teraz losujesz pięć kart z całej tali i sprawdzasz wynik losowania. Jeżeli wśród wylosowanych kart nie ma pików to kolejną kartę losujesz z zestawu \(\displaystyle{ H_{0}}\), jeżeli wśród wylosowanych kart jest jeden pik to kolejną kartę losujesz z zestawu \(\displaystyle{ H_{1}}\) itd.