Oblicz liczbę n obozów z danym prawdopodobieństwem

[Bmsiak]

Trzech uczniów wygrało w konkursie wyjazd na jeden z \(\displaystyle{ n}\) obozów. Wyboru obozu dokonują losowo. Ile jest obozów, leżeli prawdopodobieństwo wyjazdu przynajmniej dwóch uczniów na ten sam obóz wynosi \(\displaystyle{ 0,52}\)?

W moim przypadku zbiorem zdarzeń elementarnych będą kombinacje trójelementowe ze zbioru n-elementowego.
\(\displaystyle{ \left|\Omega \right|= {n \choose 3}}\)
Problem tkwi oczywiście w opisie zdarzenia. Mam pytanie, czy poprawnie liczę jego moc, którą wyraziłem następująco:
\(\displaystyle{ \left| A\right| = {n \choose 1} {1 \choose 1} {n-1 \choose 1} + {n \choose 1} {1 \choose 1} {1 \choose 1}}\)

Niestety przy takich rachunkach liczba \(\displaystyle{ n}\) nie należy do zbioru liczb naturalnych.

[miodzio1988]

A dlaczego moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) tak wygląda? na jeden sposob wybierają sobie obóz chłopaki

[Bmsiak]

Jeśli w zbiorze trójelementowym muszą być przynajmniej 2 takie same elementy spośród n elementów to pierwszy element można wybrać na n sposobów, następny musi być identyczny więc zostaje 1 sposób, a ostatni inny lub taki sam.

[miodzio1988]

Ale jakie jest zdarzenie sprzyjające? Odpowiedz sobie.

[Kartezjusz]

Ewentulnie
\(\displaystyle{ P(A)= 1-P(A)}\)
Teraz policzmy zdarzenie przeciwne,bo łatwiej.
To będzie zdarzenie,że każdy jedzie gdzie indziej.
Pierwszy wybiera jeden z\(\displaystyle{ n}\) obozów,drugi jeden z\(\displaystyle{ n-1}\)trzeci z \(\displaystyle{ n-2}\)obozów Teraz ten iloczyn,to będzie zdarzenie przeciwne,czyli o prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ 0,48}\)

[Bmsiak]

Ale jakie jest zdarzenie sprzyjające? Odpowiedz sobie.

Zdarzeniem sprzyjającym będzie wyjazd na ten sam obóz dwóch uczniów a trzeci na inny, lub trzech uczniów na ten sam. Nadal nie widzę nigdzie błędu.

[miodzio1988]

No to lipa. To omega jest do bani nawet. Weź sobie 4 obozy. na ile sposobow mogą wtedy pojechać?

Wg Ciebie cztery sposoby. Uwzględniasz to, że mogą wybrać te same obozy tutaj?

[Bmsiak]

Dzięki po części zrozumiałem błąd. Czy jeśli jej moc policzę tak:
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = n ^{3}}\)
Zaś, moc zdarzenia sprzyjającego:
\(\displaystyle{ \left| A\right| = 3!(n(n-1)+n)}\)
To będzie poprawnie?

[miodzio1988]

Ewentulnie
\(\displaystyle{ P(A)= 1-P(A)}\)
Teraz policzmy zdarzenie przeciwne,bo łatwiej.
To będzie zdarzenie,że każdy jedzie gdzie indziej.
Pierwszy wybiera jeden z\(\displaystyle{ n}\) obozów,drugi jeden z\(\displaystyle{ n-1}\)trzeci z \(\displaystyle{ n-2}\)obozów Teraz ten iloczyn,to będzie zdarzenie przeciwne,czyli o prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ 0,48}\)

z tego lepiej skorzystaj

[mat_61]

Dzięki po części zrozumiałem błąd. Czy jeśli jej moc policzę tak:
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = n ^{3}}\)
Zaś, moc zdarzenia sprzyjającego:
\(\displaystyle{ \left| A\right| = 3!(n(n-1)+n)}\)
To będzie poprawnie?

Niestety nie. Moc zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) jest OK. Natomiast obliczając moc zbioru \(\displaystyle{ |A|}\) nie uwzględniłeś tego, że są to permutacje z powtórzeniami, czyli dla wyboru tego samego obozu przez wszystkich byłoby:

\(\displaystyle{ \frac{3! \cdot n}{3!}}\)

natomiast dla wyboru takiego samego obozu przez dwóch uczestników byłoby:

\(\displaystyle{ \frac{3! \cdot n(n-1)}{2! \cdot 1!}}\)

czyli byłoby tak:

\(\displaystyle{ |A|=\frac{3! \cdot n}{3!}+\frac{3! \cdot n(n-1)}{2! \cdot 1!}}\)

Oczywiście można też skorzystać ze zdarzenia przeciwnego (każdy wyjeżdża na inny osób), czyli wariacji bez powtórzeń:

\(\displaystyle{ |A|=|\Omega|-|A'|=n^3-n(n-1)(n-2)}\)