wybieranie cyfr

[mucha3]

Mam problem z tymi zadaniami z prawdopodobienstwa i prosilbym o pomoc:

1.Spośród cyfr,1,2,3,6,7,8,9 losujemy dwie.Wylosowane cyfry zapisujemy w kolejnosci losowania i otrzymujemy liczbe dwucyfrową.Oblicz prawdopodobienstwo tego, żeotrzymana liczba jest nieparyzsta lub jej cyfry nalezą do zbioru {1,3,6} a)cyfry moga sie powtarzac b) cyfry nie moga sie powtarzać

2.Z cyfr 0 i 1 tworzymy liczby dziesieciocyfrowe. Oblicz prawdopodbieństwo otrzymania liczby parzystej lub podzielnej przez 3

3.Spośród liczb dziesieciocyfrowych w których zapisie uzyto tylko cyfr 1,2,3,4 losujemy jedna liczbę. Oblicz prawdopodobienstwo tego ze w zapisie tej liczby występuja dokladnie jedna jedynka i dwie dwojki

W pierwszym cos tam probowalem kombinowac ale jakos na dwie omegi i nic sensownego mi nie wyszlo, a do 2 i 3 nawet nie wiem jak podejśc...

[justyskaf]

W 3:
Wszystkich takich liczb jest \(\displaystyle{ 4^{10}}\) bo mamy 10 miejsc, na których możemy ustawić dowolną z cyfr ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4\}}\)

I teraz tak: ma być dokładnie jedna jedynka i dokładnie 2 dwójki.
Wybieramy miejsce dla jedynki i z pozostałych dwa miejsca dla dwójek, po czym na reszcie miejsc możemy wstawiać tylko 3 lub 4

\(\displaystyle{ |A|= C^1_{10}\cdot C^2_9\cdot W_7^2= {10 \choose 1}\cdot{9 \choose 2}\cdot 2^7=10\cdot36\cdot128=46080}\)

czyli \(\displaystyle{ P(A)=\frac{46080}{4^{10}}}\)

Wskazówka do 2: liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma cyfr jest podzielna przez 3, czyli jedynka musi być na 0 albo 3 albo 6 albo 9 miejscach.

[mucha3]

Dzięki, odpowiedz się zgadza przeanalizowalem twoją wskazówke do 2 ale nadal nie bardzo wiem jak to zrobić, będzie chyba suma 3 przypadków (jak 1 stoi na 1,3,6,9 miejscu) ale jak maja tam byc dalej 1 i 0 to nie wiem?

a jak z z 1?

[mat_61]

1a)

- wszystkie możliwe liczby: wariacje z powtórzeniami
- liczby spełniające warunki: liczby nieparzyste (wybieramy drugą cyfrę spośród nieparzystych i pierwszą dowolną) + liczby z podanego zbioru (wariacje z powtórzeniami) - liczby nieparzyste z podanego zbioru

1b)

analogicznie do 1a) tylko wykorzystać wariacje bez powtórzeń

[justyskaf]

1a) wszystkich jest \(\displaystyle{ 9^2=81}\)
nieparzystych jest \(\displaystyle{ 9\cdot5=45}\)
mamy warunek, że liczby mają być nieparzyste lub cyfry tej liczby należą do zbioru\(\displaystyle{ \{1,3,6\}}\)
zauważ, że cyfry, w których 1 albo 3 stoją na 2 miejscu już są rozpatrzone jako nieparzyste. Pozostają więc cyfry 16, 36 i 66.
Czyli w sumie jest ich 48.

b) Wszystkich jest \(\displaystyle{ \frac{9!}{7!}=8\cdot9=72}\)
Nieparzystych jest \(\displaystyle{ 8\cdot5=40}\) (bo liczb nieparzystych jest 5, a z reszty możemy wybrać 8)
I tak jak ostatnio dorzucamy, tylko tym razem bez 66.
Czyli wszystkich jest 42.

2)Wszystkich jest \(\displaystyle{ 2^9}\) bo na pierwszym miejscu może być tylko 1 (bo inaczej liczba nie będzie 10-cyfrowa)
Nieparzystych jest \(\displaystyle{ 2^8}\) (bo na ostatnim ma być 0, bo parzysta)
Dorzucamy nieparzyste podzielne przez 3 (bo parzyste już policzone)
na końcu jest 1, wiemy też że na początku musi być 1, czyli musimy dołożyć 1, 4 lub 7 jedynek
mamy taką sytuację 1_ _ _ _ _ _ _ _1
Najpierw wybieramy jedną
musimy zobaczyć na ile sposobów da się ustawić 1, czyli wybieramy jedno miejsce dla 1, a na reszcie stawiamy 0
jest ich \(\displaystyle{ C_8^1=8}\)
teraz dorzucamy 4 : \(\displaystyle{ C_8^4=70}\)
i 7 : \(\displaystyle{ C_9^7=36}\)

czyli wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{626}{1024}=\frac{313}{512}}\)

(*) jakbyś mógł, to zaznacz, że pomogłam będę wdzięczna

[mat_61]

justyskaf zauważ, że w zadaniu 1) wybieramy spośród następujących cyfr (jest ich tylko siedem):

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,6,7,8,9\right\}}\)

[justyskaf]

Ups faktycznie, nie doczytałam ale w takim razie to idzie analogicznie, z małymi poprawkami
Pozdrawiam