Dopasowywanie klucza do zamka w n próbach

[Dividee]

Witam.
Mam problem ze zrozumieniem pewnego zadania. Oto jego treść:
Dozorca ma n kluczy, z których dokładnie jeden pasuje do zamka. Klucze są wybierane i próbowane losowo bez powtórzeń. To postępowanie może wymagać 1, 2, ..., n prób. Pokazać, że każdy z tych wyników ma to samo prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)

I tak, wiadomo, że w pierwszej próbie będzie pasował jeden z n kluczy, więc po prostu to będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
Dla drugiej próby będzie to już prawdopodobieństwo, że w 1szej nie pasował razy prawdopodobieństwo, że spasuje jeden z n-1 kluczy (niepasujący odrzucamy), więc powinno być
\(\displaystyle{ (1 - \frac{1}{n} ) \cdot \frac{1}{n-1} = \frac{n-1}{1} \cdot \frac{1}{n-1} = \frac{1}{n}}\)
Tutaj też wszystko fajnie. Jednak teraz mam pewien problem. Wydaje mi się, że dla 3 próby będzie to wyglądało tak: prawdopodobieństwo porażki w 1szej próbie razy prawdopodobieństwo porażki w 2 próbie razy \(\displaystyle{ \frac{1}{n-2}}\) (odrzucamy 2 klucze)
\(\displaystyle{ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1}}\) no i krótko mówiąc tutaj już nie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Trochę pokombinowałem, i zauważyłem że wynik wychodzi gdy odejmujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), czyli np dla 4 próby:
\(\displaystyle{ (1- \frac{1}{n}- \frac{1}{n} - \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{n-3}}\) jednak nie wiem do końca czemu tak powinno być (chyba, że ma być jeszcze inaczej?) Prosiłbym o małą pomoc, z góry dzięki

[lightinside]

ja to widze jeszcze inaczej;) wybacz prosciej chyba;) masz klucze i tyle ile ich użyjesz to tyle będzie n-ów boto jest bez odkładania

masz klucze chcesz wejsc do domu nie wiesz ile musisz wykorzystac kluczy ani który pasuje nawalasz tą dziurke, i ja otworzysz to juz nie próbujesz ja tak to widze

ze zawsze jest \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)

w ten sposób moge sie mylić jak tak to przepraszam, rozumiem że n to jakas liczba prób

[Dividee]

Jeśli dobrze Cię zrozumiałem, to zgodzę się, ale co do pierwszego przypasowanie. Chodzi tutaj, że masz np. 5 kluczy i próbujesz każdego po kolei, to trzeba udowodnić, że prawdopodobieństwo spasowania danego klucza przy założeniu, że poprzednie które próbowałaś nie pasowały jest równe i wynosi właśnie 1/n
Właśnie najgorsze to udowodnienie tego, zwłaszcza przy moim profesorze ;/

[xanowron]

Tutaj też wszystko fajnie. Jednak teraz mam pewien problem. Wydaje mi się, że dla 3 próby będzie to wyglądało tak: prawdopodobieństwo porażki w 1szej próbie razy prawdopodobieństwo porażki w 2 próbie razy \(\displaystyle{ \frac{1}{n-2}}\) (odrzucamy 2 klucze)
\(\displaystyle{ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1}}\) no i krótko mówiąc tutaj już nie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).

Jak odrzucamy klucze to odrzucamy za każdym razem, czyli mamy dla 3 prób \(\displaystyle{ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1} \cdot \frac{1}{n-2} = \frac{1}{n}}\)
Dalej można np. użyć indukcji.

[Dividee]

okej, już widzę błąd.
Dzięki Wam.