chłopcy ida z dziewczynami. prawdopodobieństwo i kombinacje

[major37]

grupa przedszkolaków składająca sie z 10 dziewcząt i 10 chłopców uczestniczyła w wycieczce. W gr tej byli Ala, Ania, Rafał i Tomek. Przed wyruszeniem na wycieczkę pani poustawiała dzieci w pary - chłopcy z dziewczetami. Oblicz prawdopodobienstwo, ze:
A - Tomek szedł w parze z Alą, Rafał z Anią
B- zaden z wymienionych chłopców nie szedł w parze ani z Ala ani z Anią.

Z omegą nie mam problemu. Problem jest już z zdarzeniem sprzyjającym. Mamy dziesięć chłopców i dziesięć dziewczyn. Niech chłopcy stoją na miejscach od 1,2,3.....,9,10. Wybierzmy miejsce Tomkowi \(\displaystyle{ {10 \choose 1}}\) ala musi iść na tym miejscu co tomek więc ma tylko jedną możliwość\(\displaystyle{ {10 \choose 1} \cdot 1}\). Wybierzmy miejsce rafałowi \(\displaystyle{ {9 \choose 1}}\) Ania musi iść z rafałem więc analogicznie jak poprzednio. Pozostali chłopcy mogą iść na \(\displaystyle{ 8!}\) więc moja odpowiedź do A to \(\displaystyle{ \frac{{10 \choose 1} \cdot 1+{9 \choose 1} \cdot 1+8!}{10!}}\) Jak mam źle to proszę o wskazówkę czego nie uwzględniłem lub co za dużo. Potem się punktem B zajme.

[Tmkk]

Z całą pewnością w Twojej odpowiedzi nie powinno być plusów, tylko mnożenie, wiesz dlaczego?

Jednak problem jest jeszcze w innym miejscu. Stwierdzasz, że kolejność, gdzie stoi dana para ma znaczenia - ok, tak też można. Jednak wg Ciebie permutują tylko dziewczynki (\(\displaystyle{ 10!}\)), a chłopcy stoją na ustalonych miejscach (\(\displaystyle{ 1,2,3,4...,10}\)). Zastanów się nad tym.

[major37]

No chłopcy też permutują bo nie ma znaczenia czy para stoi z przodu czy z tyłu. Chłopcy się ustawiają na \(\displaystyle{ 10!}\) a dziewczynki też na \(\displaystyle{ 10!}\). Ale nie zastosowałem wariacji to dlaczego mówisz że ma znaczenie gdzie stoi para ?

[Tmkk]

Bo wg Ciebie para stoi tam, gdzie stoi chłopiec.

Możesz zrobić to tak:
\(\displaystyle{ 1.}\)Stwierdzasz, że to, gdzie stoi para nie ma znaczenia. Wtedy Tomka z Alą możesz postawić tylko na \(\displaystyle{ 1}\) sposób, a nie na \(\displaystyle{ 10}\), bo oni muszą być razem i tyle.
\(\displaystyle{ 2.}\)Stwierdzasz, że gdzie stoi para ma znaczenia. Wtedy Tomka z Alą możesz postawić na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów, ale moc omegi będzie znacznie większa. Bo zarówno dziewczynki, jak i chłopcy sobie permutują.

Ty pomieszałeś te \(\displaystyle{ 2}\) sposoby i w tym jest problem.

Edit. Jak nie rozumiesz, o co mi chodzi, to napisz. Wiem, ze nie umiem tłumaczyć, ale spróbuje bardziej rozpisać.

[major37]

To jak mówisz że moc omegi większa to \(\displaystyle{ 2 \cdot 10!}\) tak ?

[Tmkk]

Jeżeli chcesz robić sposobem drugim to trzeba dwie rzeczy zmodyfikować.

Jeżeli dziewczynki i chłopcy permutują, to masz \(\displaystyle{ 10!\cdot10!}\). Podobnie trzeba zmienić w zdarzeniu sprzyjającym te \(\displaystyle{ 8!}\), bo tutaj też zarówno dziewczynki, jak i chłopcy się mieszają.

[major37]

Ale to teraz chłopiec może stać z chłopcem czy nie ?

[Tmkk]

Nie, zobacz, pokaże ci na innym przykładzie.

Powiedzmy, że mamy \(\displaystyle{ 3}\) dziewczynki \(\displaystyle{ 123}\) i \(\displaystyle{ 3}\) chłopców \(\displaystyle{ ABC}\).
Najpierw chłopców ustawiamy w jednej kolejności i przyporządkowujemy do nich dziewczynki. Czyli:
\(\displaystyle{ A1, B2, C3\\
A1, B3, C2\\
A2, B1, C3\\
A2, B3, C1\\
A3, B1, C2\\
A3, B2, C1}\)

Czyli \(\displaystyle{ 3!}\).
Potem zamieniamy chłopców miejscami i znowu przyporządkowujemy im dziewczynki. Możemy tak chłopców zamieniać na \(\displaystyle{ 3!}\) rożnych możliwości, dlatego masz \(\displaystyle{ 3!\cdot3!}\).

To oczywiście tyczy się sposobu, gdy stwierdzasz, że ma znaczenia na którym miejscu stoi dana para.

Jeżeli jednak chciałbyś zrobić tym pierwszym sposobem, to wszystko jest w porządku oprócz tego, że stwierdzasz, że Tomka z Alą można "połączyć" na \(\displaystyle{ 10}\) sposobów. Bo niby dlaczego?

[major37]

No to by musiało być w takim razie \(\displaystyle{ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{10! \cdot 10!}}\) To teraz jest ok ?

[Tmkk]

Prawie, bo wszystko to, co pisałem, tyczy się też ustawienia tych \(\displaystyle{ 8}\) pozostałych par w zdarzeniu sprzyjającym.

[major37]

Czyli \(\displaystyle{ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8! \cdot 8!}{10! \cdot 10! }}\) Teraz musi być dobrze ? Co za rąbnięte zadanie

[mat_61]

Pozwolicie, że wtrącę swoje trzy grosze do dyskusji.

Oczywiście wszystko co napisał Tmkk jest jak najbardziej dobre, ale te ustawienia można wyjaśnić jeszcze prościej.

Dla dowolnych par ustawiamy chłopców na \(\displaystyle{ 10!}\) sposobów i dziewczynki na \(\displaystyle{ 10!}\) sposobów tak jak to już było wcześniej wyjaśnione, czyli wszystkich ustawień jest \(\displaystyle{ |\Omega|=10! \cdot 10!}\)

Natomiast dla zdarzeń sprzyjających z przykładu A ustawiamy chłopców na \(\displaystyle{ 10!}\) sposobów. Ponieważ do dwóch z tych chłopców (Rafała i Tomka) wcześniej "przyklejono" dwie dziewczynki (Anię i Alę) to pozostałe dziewczynki możemy ustawić na \(\displaystyle{ 8!}\) sposobów, czyli wszystkich ustawień jest \(\displaystyle{ |A|=10! \cdot 8!}\)

[major37]

No dobre wyjaśnione Dzięki