n osób- szereg

[mateuszka18]

\(\displaystyle{ n}\) wśród których jest jeden Paweł i jeden Gaweł ustawia się w szereg. Jakie jest prawdopodobieństwo że między nimi jest dokładnie \(\displaystyle{ k}\) osób.

[sieniaf]

\(\displaystyle{ \left| \Omega \right| = n!}\) - wszystkie możliwości ustawienia grupy \(\displaystyle{ n}\) osób w szeregu to po prostu permutacja z \(\displaystyle{ n}\).

Aby obliczyć ilość zdarzeń sprzyjających:

Załóżmy, że I w szeregu stoi P, następnie k osób i G. Wtedy za G znajduje się \(\displaystyle{ n-(k+2)}\) osób. W takim przypadku możliwych ustawień będzie \(\displaystyle{ (n-2)!}\), ponieważ ustawienie zmieniają, tylko osoby między P i G i osoby za G. W następnym przypadku jedna osoba zza G przechodzi na sam początek szeregu przed P i znowu ustawienie zmieniają wszystkie osoby prócz P i G, czyli \(\displaystyle{ (n-2)!}\) (przed P ustawia się zawsze 1 osoba), następnie zawsze 2 osoby itd. aż do momentu kiedy za G będzie znajdywało się \(\displaystyle{ 0}\) osób, a przed P \(\displaystyle{ n-(k+2)}\) osób. Takich przejść będzie \(\displaystyle{ n-(k+2)+1}\), początkowy kiedy nikt nie stoi przed P i \(\displaystyle{ n-(k+2)}\) przejść przed P. Analogicznie rozpatrujemy przypadek kiedy to G stoi na początku, zatem:

\(\displaystyle{ \left| A\right|=2(n-(k+2)+1)(n-2)!=2(n-k-1)(n-2)!}\)

i \(\displaystyle{ P(A)= \frac{2(n-k-1)(n-2)!}{n!}}\)