wykazanie równości z symbolu newtona

[major37]

Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ k \in N}\) i \(\displaystyle{ n \in N}\) i \(\displaystyle{ k<n}\), to \(\displaystyle{ {n \choose k}+ {n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}}\) Rozpisałem lewą stronę z symbolu ale nie wiem co tam dalej. Na pierwszy rzut oka przekształceń od ciut i trochę.

[scyth]

Wiesz co masz po lewej, wiesz co masz po prawej - nie jest wcale dużo przekształceń. Pokaż jak liczysz.

[sieniaf]

Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ L= \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}= \frac{n!(k+1)!(n-k-1)!+n!k!(n-k)!}{k!(k+1)!(n-k)!(n-k-1)!}= \frac{n!k!(k+1)(n-k-1)!+n!k!(n-k-1)!(n-k)}{k!k!(k+1)(n-k)!(n-k-1)!}}\)

teraz już tylko kosmetyka.

Całość opiera się na tym, że \(\displaystyle{ n!=(n-1)! \cdot n}\), tylko trzeba uważać z dziedziną bo \(\displaystyle{ (n-1)!}\) może nie istnieć.

[scyth]

A ja tak:
\(\displaystyle{ {n \choose k}+ {n \choose k+1}= \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} =
\frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!} =\\=
\frac{n!k+n!+n!n-n!k}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{n!+n!n}{(k+1)!(n-k)!} = {n+1 \choose k+1}}\)

[major37]

Teraz już zauważyłem jak to należy wykonać Zmylił mnie ten nawias gdzie są trzy składniki ale już wszystko jasne Dzięki wam