Witam ! Mam następujące zadanie :
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości :
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}12x(1-x)^{2} , 0<x<1 \\ 0 , reszta \end{cases}}\)
Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y jeśli Y=arcsinX.
Wykonałem rysunek :
I wyznaczyłem gęstość zmiennej losowej Y. (Na rysunki X1 to to samo co X w obliczeniach).
\(\displaystyle{ \underline{Y}=arcsin \underline{X}}\) zatem mam \(\displaystyle{ y=arcsinx \Rightarrow x=siny}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dy}=cosy}\)
\(\displaystyle{ f \underline{Y} (y) \cdot \left| dy\right|=f \underline{X} (x) \cdot \left| dx\right|}\)
\(\displaystyle{ f \underline{Y} (y)=f \underline{X} (x) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|=12siny(1-siny)^{2} \cdot cosy}\) dla \(\displaystyle{ y \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)}\)
Proszę o sprawdzenie rozwiązania. Z góry dzięki za pomoc!