Prawdopodobieństwo całkowite wzóra bayesa

[wolak]

Zad.1 Każda z trzech urn zawiera 6 kul czarnych i 4 białe.
Z 1. urny losowo wyciągnięto jedną kulę i wrzucono do urny 2
z 2. urny losowo wyciągnięto jedną kulę i wrzucono do urny 3
Następnie z urny 3. losujemy kulę.
a)Jakie jest prawdopodobieństwo że jest to kula biała ? (praw. całkowite)
b)wylosowana z urny 3. okazała się biała jakie jest praw. że z urny 2. dołożono jedną kulę białą ? (wzór Bayesa)
Zad. 2
Obliczyć prawdopodobieństwa przekazania sygnału przez układ składający się z działających niezależnych przekaźników jeżeli prawd. działania przekaźnika jest równe p, \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\)


mam nadzieję że zdjęcie będzie widoczne jak nie to wstawiam link

[Kartezjusz]

a)Musisz rozpisać sobie przypadki i podprzypadki. Pownny być cztery
Wylosowano a) dwie białe b) dwie czarne c) najpierw czarną,potem białą d) najpierw białą potem czarną rozpisz drzewka
b)Z prawa Kirhoffa prąd na rozstajach podzieli się na\(\displaystyle{ n}\) równych części ,gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba możliwości pójścia i każdą z drów musisz rozpatrzyć z osobna .Masz sukces jeśli sygnał dotrze do drugiego końca.

[wolak]

te drugie to w miarę rozumiem to co napisałeś
ale z tym pierwszym to nie rozumiem w ogóle
zrobiłem drzewko tylko nie rozumiem dlaczego mam skończyć na tych 4 przypadkach skoro mam dalej losować ?

[norwimaj]

Ad 1.
Można też zacząć od końca. Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{10}{11}}\) z pojemnika 3. wylosowano kulę, która od początku w nim była, natomiast z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac1{11}}\) wylosowano kulę przełożoną z pojemnika 2. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania białej jest równe

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(B_3) = \frac{10}{11}\cdot\frac4{10}+\frac1{11}\cdot\mathbb{P}(B_2)}\).

Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \mathbb{P}(B_2)}\) wylosowania kuli białej z drugiego pojemnika policzysz analogicznie.


Ad 2.
Jeśli łączysz szeregowo dwa niezależne przekaźniki o prawdopodobieństwach działania \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\), otrzymujesz jeden przekaźnik o prawdopodobieństwie zastępczym \(\displaystyle{ p_1p_2}\). Jeśli je połączysz równolegle, to otrzymujesz \(\displaystyle{ 1-(1-p_1)(1-p_2)}\).

[wolak]

AD 1
dlaczego z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{10}{11}}\) z pojemnika 3. wylosowano kulę, która od początku w nim była ? jak jak wg mnie jak już to maksymalnie moze być \(\displaystyle{ \frac{6}{12}}\)
bo dwie wrzucamy z poprzednich urn a na początku było ich 4 ?
i dlaczego z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) wylosowano kule przełożoną z pojemnika 2 ?
AD 2
jak byś mógł rozwiązać te zadnie bo ja jakoś nie czaję ;/ raczej wkurza mnie te\(\displaystyle{ p\in(0,1)}\)
bo jak by było dane to bym to rozwiązał jakoś

[norwimaj]

Ad 1.

z 2. urny losowo wyciągnięto jedną kulę i wrzucono do urny 2

Założyłem że tu jest błąd w treści i kula miała być przełożona do urny 3. Wtedy urna 3. zawiera \(\displaystyle{ 6}\) kul czarnych i \(\displaystyle{ 4}\) białe oraz jedną kulę wylosowaną z urny 2. Razem \(\displaystyle{ 10}\) kul, które były tam od początku i jedna z urny 2, stąd prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \frac{10}{11}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{11}}\).

Ad 2.

raczej wkurza mnie te\(\displaystyle{ p\in(0,1)}\)
bo jak by było dane to bym to rozwiązał jakoś

Jest dane.

[wolak]

Tak więc w pierwszym wystarczyło podstawić pod wzór na prawd. całkowite w podpunkcie a )
a w podpunkcie b) wzór Bayesa do którego przyda się wyliczone z podpunktu a)
a) wyszło \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\)
b) wyszło \(\displaystyle{ \frac{ \frac{4}{10} \cdot \frac{5}{11} }{ \frac{2}{5} }}\) - nie chciało mi się tego już liczyć xD
A w drugim
\(\displaystyle{ B1=P(A \cup B)}\)
\(\displaystyle{ B2=P(C \cup D \cup E)}\)
\(\displaystyle{ B3=P(F \cap G)}\)
\(\displaystyle{ P(B)=P(B1 \cap B2) \cup P(B3)=(2p-p ^{2} ) \cdot (3p-3p ^{2} + p ^{3} ) + p ^{2}}\)


Wynik sprawdziłem u Profesora i jest zgodny niestety nikt mi tym razem nie pomógł
może ja tym sposobem komuś pomogę