Prawdopodobieństwo wylosowania za 3 razem kuli zielonej

[gawli]

W urnie jest 6 kul białych, 4 czarne i 1 zielona. Wyjęto trzy razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że za trzecim razem wyjęto kulę zieloną

doszedłem do:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} {10 \choose 1} {10 \choose 1} {1 \choose 1} =100\\
\overline{\overline{\Omega}} {11 \choose 3}=165\\P(A)= \frac{100}{165}= \frac{20}{33}}\)
Gdzie jest błąd?

[Hausa]

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ \overline {\overline{\Omega}}}\) jest źle policzona. Bo akurat tutaj liczy się kolejność losowania.

[janusz47]

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym losowaniu ze zwracaniem jednej kuli z urny zawierającej sześć kul białych, cztery czarne i jedną kulę zieloną.
Oznaczenia: b - kula biała, c - kula czarna, z - kula zielona.
Zbiór wszystkich możliwych wyników losowania:
\(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \omega = < i, j, k>: i, j, k \in \left\{ 6z, 4c, 1z\right\} \right\},}\)
\(\displaystyle{ \left| \Omega \right| = 3^3 = 27,}\)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie - za trzecim razem wyjęto kulę zieloną:
\(\displaystyle{ A = \left\{ \omega = <i, j, k >: i, j \in \left\{ 6z, 4c \right\} \wedge k \in \left\{ 1z \right\} \right\},}\)
\(\displaystyle{ \left| A\right| =3^2 = 9,}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{\left| A\right| }{\left|\Omega\right| }= \frac{9}{27}= \frac{1}{3}.}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku:
Realizując doświadczenie losowe należy oczekiwać, że w około 33 \% ogólnej liczby wyników, będziemy otrzymywać w trzecim losowaniu kulę zieloną.

[mat_61]

To niestety nie jest poprawne rozwiązanie:

To, że możemy otrzymać dla trzech kolejnych kul jeden z trzech kolorów wcale nie oznacza, że \(\displaystyle{ |\Omega|=3^3}\). Przy klasycznej definicji p-stwa przestrzeń zdarzeń elementarnych musi być opisana w ten sposób, żeby wszystkie zdarzenia elementarne były jednakowo prawdopodobne. A tutaj tak nie jest.
Wg Twojego sposobu rozumowania wylosowanie np. zarówno trzech kul białych jak i trzech zielonych jest jednakowo prawdopodobne i tak samo byłoby gdyby kul białych było 1000 a zielona jedna

Bardziej szczegółowe wyjaśnienie dlaczego przy obliczaniu prawdopodobieństwa ilość możliwych "obserwowalnych" wyników nie jest równoznaczna z mocą zbioru znajdziesz np. tutaj:

https://www.matematyka.pl/224654.htm post 5 gru 2010, o 10:55-- 14 kwi 2012, o 20:29 --Co do zadania, to łatwo zauważyć, że kolejne losowania są niezależne w związku z czym wyniki losowania pierwszej i drugiej kuli nie mają żadnego znaczenia (nie mamy w zadaniu żadnego warunku dla tych losowań). Oznacza to, że p-stwo które mamy policzyć to p-stwo wylosowania kuli zielonej (Z) spośród zestawu \(\displaystyle{ \left\{ B;B;B;B;B;B;C;C;C;C;Z\right\}}\).

Taki sam wynik byłby wtedy gdyby interesowało nas p-stwo wylosowania zielonej kuli jako dowolnej w kolejności przy dowolnej liczbie losowań np. p-stwo wylosowania jako zielonej siedemnastej kuli przy sześćdziesięciu trzech losowaniach ze zwracaniem.

[janusz47]

Poprawka
Opis zdarzenia A jak wyżej:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{6}{11} \frac{6}{11} \frac{1}{11}+ \frac{6}{11} \frac{4}{11} \frac{1}{11} + \frac{6}{11} \frac{1}{11} \frac{1}{11} + \frac{4}{11} \frac{6}{11} \frac{1}{11} + \frac{4}{11} \frac{4}{11} \frac{1}{11} + \frac{4}{11} \frac{1}{11} \frac{1}{11}+ \frac{1}{11} \frac{6}{11} \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \frac{4}{11} \frac{1}{11}+ \frac{1}{11} \frac{1}{11} \frac{1}{11} = \frac{121}{11^3}= \frac{121}{1331}= \frac{1}{11} .}\)
Drugi sposób ( wariacje z powtórzeniami):
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{W_{11}^{2}}{W_{11}^{3}}= \frac{11^2}{11^3}= \frac{1}{11}}\)

[piasek101]

Poczytaj co masz tuż nad swoim - zadanie wygląda na maturę podstawową.

[mat_61]

janusz47, to co napisałeś jest formalnie OK pomijając błąd rachunkowy (dlatego wynik jest zły), bo powinno być tak:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{6}{11} \frac{6}{11} \frac{1}{11}+ \frac{6}{11} \frac{4}{11} \frac{1}{11} + \frac{6}{11} \frac{1}{11} \frac{1}{11} + \frac{4}{11} \frac{6}{11} \frac{1}{11} + \frac{4}{11} \frac{4}{11} \frac{1}{11} + \frac{4}{11} \frac{1}{11} \frac{1}{11}+ \frac{1}{11} \frac{6}{11} \frac{1}{11} + \textcolor{red}{\frac{1}{11} \frac{4}{11}} \frac{1}{11}+ \frac{1}{11} \frac{1}{11} \frac{1}{11} = ...}\)

Zapisanie tego w taki sposób sugeruje jednak, że nie zauważasz na czym polega istota tego doświadczenia.

Zauważ, że w dwóch pierwszych losowaniach wypisujesz wszystkie możliwe warianty, czyli uważasz, że w tych losowaniach można wylosować cokolwiek a p-stwo wylosowania czegokolwiek (czyli dowolnej kuli) zawsze wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

Powyższe doświadczenie można opisać w taki sposób. Wkładasz rękę do urny i wyciągasz jedną kulę. Nie pokazujesz tej kuli nikomu (bo nie jest istotne jaką kulę wyciągnąłeś) i wrzucasz ją z powrotem do urny. Następnie ponownie wkładasz rękę do urny, wyciągasz jedną kulę i nikomu jej nie pokazując wrzucasz z powrotem. Teraz masz losować trzeci raz i zastanawiasz się jakie jest p-stwo wylosowania kuli zielonej? Po prostu takie same jak wylosowania kuli zielonej w jednym losowaniu.

-- 14 kwi 2012, o 21:33 --

(*) widzę, że skorygowałeś swoje rachunki. Jeżeli teraz skrócisz ułamek przez \(\displaystyle{ \textcolor{red}{121}}\), to jaki otrzymasz wynik?