sprawdzenie zadań

[Rafix_]

Proszę o sprawdzenie zadań.

1)
Niech A i B będą dwoma zdarzeniami takimi, że:
\(\displaystyle{ P(A | B) = \frac{3}{7}}\) oraz \(\displaystyle{ P(B \setminus A)= \frac{2}{5}}\)

a)obliczyć \(\displaystyle{ P(B)}\)
b)czy możliwe jest, że \(\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{7}}\)

rozwiązanie:
rysuje diagram i zauważam, że
\(\displaystyle{ P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B) = P(B \setminus A)+P(A|B)P(B)}\)

\(\displaystyle{ P(B)(1-P(A|B)) = P(B\A)}\)
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{P(B \setminus A)}{1-P(A|B)} = 2/5 \cdot 7/4 = 7/10}\)

z podpunktem b) mam problem..

2)
Z talii 32 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy parzystą liczbę kart czarnych?

rozwiazanie
możemy wylosować 4,2 lub 0 kart czarnych i odpowiednio 1,3 lub 5 czerwonych
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{32 \choose 4} \cdot {28 \choose 1} + {32 \choose 2} \cdot {30 \choose 3}+{32 \choose 0} \cdot {32 \choose 5} }{ {32 \choose 5} }}\)

[mat_61]

1a.
W drugiej linijce ma być:

\(\displaystyle{ P(B)(1-P(A/B)) = P(B \setminus A)}\)

ale myślę, że to jest pomyłka przy pisaniu.

1b.
\(\displaystyle{ P(A)=P(\Omega) - P(B)+P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(B) - P(B \setminus A)}\)

2.
Skąd masz w liczniku kombinacje ze zbiorów 32, 30 i 28 elementowych?

Wśród tych 32 kart mamy 16 kart czarnych i 16 czerwonych w związku z czym jeżeli mamy np. wylosować 4 czarne karty i 1 czerwoną, to te 4 czarne muszą być wylosowane spośród 16 czarnych a ta 1 czerwona musi być wylosowana spośród 16 czerwonych.

[Rafix_]

czyli tak:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{16 \choose 4} \cdot {16 \choose 1} + {16 \choose 2} \cdot {16 \choose 3}+{16 \choose 0} \cdot {15 \choose 5} }{ {32 \choose 5} }}\)

??

Nie do końca rozumiem ten zapis, przecież karty czerwone i czarne są razem a ten zapis wskazuje jakbyśmy losowali z dwóch różnych stosów

[mat_61]

Oczywiście w ostatnim składniku mianownika ma być \(\displaystyle{ {16 \choose 0} \cdot {16 \choose 5}}\) ale myślę, że to tylko pomyłka przy pisaniu.

ten zapis wskazuje jakbyśmy losowali z dwóch różnych stosów

Nie, ten zapis wskazuje w jaki sposób możemy obliczyć ile jest wszystkich możliwych wyników losowania i ile spośród nich jest takich które spełniają podane w zadaniu warunki.

Ty masz obliczyć dwie rzeczy:

1. Ile jest wszystkich możliwych losowań. Czyli masz 32 karty i wybierasz losowo 5 z nich. To jest właśnie moc zbioru omega. Tutaj jak widzę nie masz wątpliwości.

2. Ile jest takich losowań w których masz parzystą ilość kart czarnych (czyli moc zbioru A). Jak to możesz wyliczyć? Zastanów się jak mógłbyś uzyskać losowy wynik spełniający podane warunki?

Przykładowo chcesz policzyć ile wśród wylosowanych "zestawów" z punktu 1) jest takich w których są 2 czarne karty i 3 czerwone. A takie "zestawy" uzyskasz wykonując doświadczenie w następujący sposób:

Dzielisz wszystkie karty na dwie części, każdą z nich tasujesz i następnie losujesz:

a) 2 karty z spośród tych gdzie są czarne. W ten sposób możesz uzyskać dowolny "zestaw" z 2 czarnymi kartami a takich różnych zestawów 2 kart czarnych jest \(\displaystyle{ {16 \choose 2}}\)

b) 3 karty spośród tych gdzie są czerwone. W ten sposób możesz uzyskać dowolny "zestaw" z 3 czerwonymi kartami a takich różnych zestawów 3 kart czerwonych jest \(\displaystyle{ {16 \choose 3}}\)

Na koniec korzystasz z twierdzenia o mnożeniu (tzw. zasady iloczynów) i liczysz ile jest różnych, takich "zestawów" 5-kartowych w których jest jeden 2-kartowy "zestaw czarny" (punkt a) i jeden 3-kartowy "zestaw czerwony" (punkt b).

Wszystkich możliwych zestawów kart 2 czarne + 3 czerwone jest więc:

\(\displaystyle{ {16 \choose 2} \cdot {16 \choose 3}}\)

Podobnie postępujesz dla 0 i 4 kart czarnych.