6 kul w 5 szufladach

[ewusia]

Do 5 szuflad wkładamy losowo 6 ponumerowanych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w dokładnie dwóch szufladach nie będzie żadnej kuli?

Nie potrafię obliczyć mocy zdarzenia.

[Kartezjusz]

Najpierw wybieramy na \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) sposby puste szuflady ,a potem trzy numerki wybierasz każda do innej szuflady i dla trzech co zostały wybierasz szufladę:)

[norwimaj]

Najpierw wybieramy na \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) sposby puste szuflady

Do tego miejsca jest dobrze.

a potem trzy numerki wybierasz każda do innej szuflady i dla trzech co zostały wybierasz szufladę:)

Tu już niestety nie. Te same sytuacje liczysz wielokrotnie.

[Kartezjusz]

A dlaczego?

[norwimaj]

Na przykład takie rozmieszczenia są identyczne:

• Wkładamy kulę 1 do szuflady 1, kulę 2 do szuflady 2, kulę 3 do szuflady 3.
  Pozostałe kule wkładamy do szuflady 1.
• Wkładamy kulę 4 do szuflady 1, kulę 2 do szuflady 2, kulę 3 do szuflady 3.
  Pozostałe kule wkładamy do szuflady 1.

Dlatego Twój wynik jest zawyżony (Wychodzi Ci \(\displaystyle{ 32400}\) zamiast \(\displaystyle{ 5400}\). Wszystkich możliwych rozmieszczeń sześciu kul w pięciu komórkach jest \(\displaystyle{ 15625}\)).

[Kartezjusz]

A-ha.czyli drugą część jeszcze podzielić przez sześć,aby usunąć ten szkopuł...

[norwimaj]

Ale to ustaliłeś na podstawie tego, jaki jest poprawny wynik? Ja nie potrafię uzasadnić, że wynik zawyżyłeś sześciokrotnie, nie licząc poprawnego wyniku innym sposobem.

Jedne sytuacje liczysz czterokrotnie, inne sześciokrotnie, jeszcze inne ośmiokrotnie. Gdybyś każdą sytuację liczył sześciokrotnie, to by było wiadomo że wystarczy podzielić przez \(\displaystyle{ 6}\). Jednak tak nie jest i nie wiem czy da się to rozwiązanie dokończyć.


Ja bym w tym zadaniu albo zastosował wzór włączeń i wyłączeń, albo bym rozpatrzył trzy przypadki:

1. w jednej szufladzie są \(\displaystyle{ 4}\) kule,
2. w jednej szufladzie są \(\displaystyle{ 3}\) kule, a w innej \(\displaystyle{ 2}\),
3. w trzech szufladach są po \(\displaystyle{ 2}\) kule.

[pini]

Skasowany.

[leapi]

ja obstawiłbym wynik \(\displaystyle{ P=\frac{ {5 \choose 2} }{31}=\frac{10}{31}}\)

[norwimaj]

leapi, to nie jest wątek filozoficzny, tylko matematyczny, więc bez zastanowienia przyjmujemy przestrzeń probabilistyczną, w której każde rozmieszczenie kul w komórkach jest równo prawdopodobne. Nie jest więc poprawne rozwiązanie, w którym przyjmujesz, że każdy możliwy zbiór pustych komórek jest jednakowo prawdopodobny.-- 16 kwi 2012, o 22:43 --Aczkolwiek moim prywatnym zdaniem prawdopodobieństwo jest \(\displaystyle{ \frac12}\), bo będzie zdarzenie sprzyjające albo nie.

[leapi]

A gdzie jest bład.

[norwimaj]

W przyjęciu złego modelu (czyli w niematematycznej części rozwiązania).

[Kartezjusz]

Ale to ustaliłeś na podstawie tego, jaki jest poprawny wynik? Ja nie potrafię uzasadnić, że wynik zawyżyłeś sześciokrotnie, nie licząc poprawnego wyniku innym sposobem.

Jedne sytuacje liczysz czterokrotnie, inne sześciokrotnie, jeszcze inne ośmiokrotnie. Gdybyś każdą sytuację liczył sześciokrotnie, to by było wiadomo że wystarczy podzielić przez \(\displaystyle{ 6}\). Jednak tak nie jest i nie wiem czy da się to rozwiązanie dokończyć.


Ja bym w tym zadaniu albo zastosował wzór włączeń i wyłączeń, albo bym rozpatrzył trzy przypadki:

1. w jednej szufladzie są \(\displaystyle{ 4}\) kule,
2. w jednej szufladzie są \(\displaystyle{ 3}\) kule, a w innej \(\displaystyle{ 2}\),
3. w trzech szufladach są po \(\displaystyle{ 2}\) kule.

Kule rozróżniamy,szuflady już nie...

[norwimaj]

Kule rozróżniamy,szuflady już nie...

Jeśli wykonasz to doświadczenie z nieponumerowanymi szufladami, a potem ponumerujesz szuflady i wykonasz jeszcze raz to samo doświadczenie, to prawdopodobieństwo będzie inne?

A co się stanie jeśli szuflady będą miały numery, ale zasłonięte?

A jeśli wykonamy doświadczenie w przeświadczeniu że szuflady nie są ponumerowane, ale dopiero po wykonaniu doświadczenia zauważymy że każda szuflada miała z tyłu tabliczkę ze swoim unikalnym numerem, to w doświadczeniu prawdopodobieństwo było takie, jakby szuflady były rozróżnialne, czy nie?

Pozwól że jeszcze ośmielę się zapytać, co się stanie, jeśli szuflady będą miały numery, ale nie będą one unikalne?

Jeszcze mam jedno pytanie, ale nie chcę się publicznie kompromitować, więc je ukryję.

Ukryta treść:    

Jak można szybko policzyć \(\displaystyle{ |\Omega|}\) przy nierozróżnialnych szufladach?

[Glo]

Moc zdarzenia to:

\(\displaystyle{ 5^6}\)

Każda kula może być przydzielona do szuflady na 5 sposobów, a przydzielanie odbywa się sześciokrotnie.

Wybieramy dwie puste szuflady na:

\(\displaystyle{ C^2_5}\)
sposobów.

Do pozostałych szuflad rozdzielamy kulki. Zostały nam 3 szuflady, więc możemy do trzech szuflad rozłożyć kulki na:

\(\displaystyle{ 3^5}\)
sposobów. Jednakże żadna z trzech szuflad nie może okazać się pusta, więc musimy usunąć takie przypadki. Może zdarzyć się, że wszystkie kule są w szufladzie nr. 1, 2 lub 3. Może się też zdarzyć, że pusta zostanie szuflada nr. 1 podczas gdy 2 i 3 są zapełnione, 2 pusta a 1 i 3 zapełnione, 3 pusta a 1 i 2 zapełnione. Jak widać, takich sytuacji jest 6. Ostatecznie mamy:

\(\displaystyle{ C^2_5\cdot 3^5-6}\)
zdarzeń sprzyjających. Wyniki wrzucamy do prawdopodobieństwa klasycznego.