prawdopodobieństwo, stół

[prawyakapit]

n par małżeńskich zajmuje losowo miejsca przy okrągłym stole.Oblicz prawdopodobieństwo,
że żadna żona nie siedzi obok swojego męża.

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ n}\) - liczba par, liczba kobiet, liczba mężczyzn
\(\displaystyle{ 2n}\) - liczba ludzi przy stole

\(\displaystyle{ \Omega=\left( 2n\right)!}\)

A - żadna kobieta nie siedzi obok swojego męża. Czyli dla jednej z 'n' kobiet jej męża mogę posadzić na jednym z \(\displaystyle{ 2n-3}\) (tzn nie moze siedzieć na tym samym miejscu co żona, oraz pomiędzy)

\(\displaystyle{ \left|A \right|=n\left( 2n-3\right)}\)

\(\displaystyle{ P\left( A\right)= \frac{n\left( 2n-3\right)}{\left( 2n\right)!}}\)

[mat_61]

Po pierwsze w p-stwie okrągły stół jest synonimem nierozróżnialnych miejsc. Twój sposób obliczenia mocy zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) wskazuje, że traktujesz te miejsca jako rozróżnialne.

Po drugie nie wydaje mi się poprawny sposób liczenia mocy zbioru \(\displaystyle{ |A|}\):

Jeżeli rozróżniasz miejsca, to już możliwości posadzenia pierwszego małżeństwa jest więcej, bo możemy wybrać jedno z \(\displaystyle{ 2n}\) miejsc na posadzenie żony i jedno z \(\displaystyle{ (2n-3)}\) miejsc na posadzenie jej męża, czyli mamy \(\displaystyle{ 2n(n-3)}\) możliwości.

Jeżeli nawet nie rozróżniasz miejsc, to na posadzenie pierwszej pary masz \(\displaystyle{ (2n-3)}\) możliwości a na posadzenie kolejnej osoby \(\displaystyle{ (2n-2)}\) możliwości (dowolne niezajęte miejsce), czyli na posadzenie trzech pierwszych osób masz \(\displaystyle{ (2n-2)(2n-3)}\) możliwości. Łatwo zauważyć, że dla \(\displaystyle{ n>2, \ (2n-2)(2n-3) > n(2n-3)}\)

[prawyakapit]

zatem jakie jest poprawne rozwiązanie ?-- 8 kwi 2012, o 14:46 --ponadto z tego co czytałam to zbiór wszystkich zdarzeń to powinno być \(\displaystyle{ \frac{2n!}{(2n}}\)

[mat_61]

Raczej tak:

\(\displaystyle{ |\Omega|= \frac{(2n)!}{2n} =(2n-1)!}\)

[prawyakapit]

no tak tak o to mi chodziło, gdzieś mi sie tylko zgubił nawias.

a jak z resztą zadania ?

[mat_61]

Na razie nie mam jakiegoś prostego pomysłu (może jak będę miał więcej czasu to się zastanowię).

-- 9 kwi 2012, o 08:03 --

Proponuję taki sposób:

Pod ścianą stoi w rządku \(\displaystyle{ 2n}\) krzeseł na których siedzą kolejno wszystkie małżeństwa:

\(\displaystyle{ \left( Z_{1},M_{1},Z_{2},M_{2},Z_{3},M_{3},Z_{4},M_{4},...,Z_{n},M_{n},\right)}\)

Teraz rozsadzanie tych osób przy stole odbywa się w ten sposób, że kolejna osoba wraz z krzesłem zajmuje przy stole wybrane miejsce pomiędzy już siedzącymi osobami.
Ilość miejsc do wyboru dla kolejnych osób jest więc równa ilości wolnych miejsc (czyli ilości już siedzących osób) w przypadku gdy ma zająć miejsce żona oraz ilości miejsc pomniejszonych o dwa gdy ma zająć miejsce jej mąż.

\(\displaystyle{ 1 \ osoba: \ Z_{1} \ \rightarrow \ 1 \ miejsce \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 2 \ osoba: \ M_{1} \ \rightarrow \ 1 \ miejsce \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 3 \ osoba: \ Z_{2} \ \rightarrow \ 2 \ miejsca \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 4 \ osoba: \ M_{2} \ \rightarrow \ (3-2)=1 \ miejsce \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 5 \ osoba: \ Z_{3} \ \rightarrow \ 4 \ miejsca \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 6 \ osoba: \ M_{3} \ \rightarrow \ (5-2)=3 \ miejsca \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 7 \ osoba: \ Z_{4} \ \rightarrow \ 6 \ miejsc \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 8 \ osoba: \ M_{4} \ \rightarrow \ (7-2)=5 \ miejsc \ do \ wyboru}\)
..............
\(\displaystyle{ 2n-1 \ osoba: \ Z_{n} \ \rightarrow \ 2n-2 \ miejsca \ do \ wyboru}\)
\(\displaystyle{ 2n \ osoba: \ M_{n} \ \rightarrow \ (2n-1)-2=2n-3 \ miejsca \ do \ wyboru}\)

Wszystkich możliwości takich rozmieszczeń, że żona i maż nie siedzą koło siebie jest więc:

\(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-2)(2n-3)=(2n-2)!}\)