sigma - ciała i niezależność

[KasienkaG]

Czy ktoś mógłby mi pomóc przeprowadzić dowód twierdzenia:
Zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \sigma\left( X\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma\left( Y\right)}\) są niezależne.
Proszę o pomoc.

[Kartezjusz]

Ja tę równoważność miałem jako definicję niezależności zmiennych losowych

Jaką wy przyjęliście?

[KasienkaG]

Zmienne X,Y są niezależne, gdy dla wszystkich \(\displaystyle{ A,B\in Bor\left( \mathbb R\right)}\)
\(\displaystyle{ P\left( X \in A,Y \in B\right)=P\left( X \in A\right)*P\left( Y \in B\right)}\)

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ A,B}\) są borelowskie,zatem i zakładamy niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ P(X \in A)=P({\omega \in \Omega : X(\omega) \in A}=P( \omega \in X^{-1}(A))}\) Ale to ostatnie zdarzenie na mocy o postaci sigma ciała generowanego przez zmienną losową X

Wiedząc to
\(\displaystyle{ P(X \in A ; Y \in B)=P ( \omega \in X^{-1}(A) ; \omega in Y^{-1}(B)}=P( \omega \in X^{-1}(A)) \cdot P( \omega \in Y^{-1}(B))}\) bo zmienne są niezależne,ale ostatnia linijka oznacza zdarzenia należą do sigma ciał niezależnych, bo do nich należą te zdarzenia na mocy poprzedniego paragrafu i definicji niezależności sigma ciał.

W drugą stronę każde zdarzenie z sigma ciała generowanego możn przedstawić tak jak w paragrafie I i dzięki temu zaczynając z ostatniej równości idziemy do tyłu.