Zmienna losowa i jej funkcja

[epicka_nemesis]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ \xi \sim F_{\xi}}\), ponadto zadana jest funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) postaci:
\(\displaystyle{ \varphi (x)=\begin{cases} -x,x \le 0\\x ^{2},x>0 \end{cases}}\)
Wylicz \(\displaystyle{ F_{\varphi}(\xi)}\)
Jak zabrać się do tego zadania?
czy trzeba tu znaleźć przeciwobraz?

[szw1710]

Chodzi o wyliczenie dystrybuanty zmiennej losowej \(\displaystyle{ \varphi(\xi)}\) przy danej dystrybuancie zmiennej \(\displaystyle{ \xi.}\)

Posługuję się definicją dystrybuanty: \(\displaystyle{ F(x)=P(X<x).}\)

Np. dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) mamy \(\displaystyle{ \varphi(\xi)<x\iff x\in\emptyset,}\) gdyż zawsze \(\displaystyle{ \varphi\ge 0.}\) A zatem \(\displaystyle{ F_{\varphi}(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\le 0.}\)

Niech \(\displaystyle{ x>0.}\) Tutaj trzeba dokładnie zastanowić się nad przeciwobrazami. Co to znaczy \(\displaystyle{ \varphi(\xi)<x.}\) Narysuj wykres funkcji \(\displaystyle{ x=\varphi(\xi)}\), czyli w układzie współrzędnych \(\displaystyle{ (\xi,x).}\) To Ci da odpowiedź. Potem przejdź przez dystrybuantę \(\displaystyle{ F_{\xi}}\) i skorzystaj z własności wymienionych pod koniec mojego wykładu w Kompendium: 291171.htm

[epicka_nemesis]

Bardzo dziękuję

[epicka_nemesis]

Np. dla \(\displaystyle{ x\le 0}\) mamy \(\displaystyle{ \varphi(\xi)<x\iff x\in\emptyset,}\) gdyż zawsze \(\displaystyle{ \varphi\ge 0.}\)

Czyli zawsze przy każdej okazji takiego zadania tak się dzieje?

Niech \(\displaystyle{ x>0.}\) Tutaj trzeba dokładnie zastanowić się nad przeciwobrazami. Co to znaczy \(\displaystyle{ \varphi(\xi)<x.}\) Narysuj wykres funkcji \(\displaystyle{ x=\varphi(\xi)}\), czyli w układzie współrzędnych \(\displaystyle{ (\xi,x).}\)

Czyli \(\displaystyle{ \xi ^{2}<x.}\)
Jak narysuje wykres funkcji \(\displaystyle{ x=\varphi(\xi)}\) będę miała punkty \(\displaystyle{ (\xi, \xi ^{2})}\)
więc będę miała parabolę rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ \varphi(\xi)<x}\) będą te wszystkie pynkty od równania paraboli wzwyż tak?-- 12 kwi 2012, o 00:33 --Zadanie 2. (podobne do poprzedniego) Dana jest funkcja \(\displaystyle{ X \sim F_{x}}\), ponadto zadana jest funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) postaci:
\(\displaystyle{ \varphi (x)=\begin{cases} -x^{2},x \le 0\\x ^{2},x>0 \end{cases}}\)
Wylicz \(\displaystyle{ F_{\varphi}(X)}\)