losowanie ze zwracaniem i bez, drogi na wzgórze

[mcmcjj]

1. \(\displaystyle{ A}\) jest zdarzeniem, polegającym na wylosowaniu trzech elementów z ośmiu różnych, ze zwracaniem. Oblicz \(\displaystyle{ P(A)}\). (Odp.: \(\displaystyle{ \frac{42}{64}}\) )

2. \(\displaystyle{ A}\) jest zdarzeniem, polegającym na wylosowaniu trzech elementów \(\displaystyle{ {1,2,4}}\) w losowaniu \(\displaystyle{ 3}\) liczb ze zbioru \(\displaystyle{ {1,2,...,12}}\), bez zwracania. (Odp.: \(\displaystyle{ \frac{1}{220}}\) )

3. Jest \(\displaystyle{ 16}\) dróg na wzgórze. Jeden z turystów wchodzi, drugi schodzi z niego. Ile wynosi prawdopodobieństwo ich spotkania ? (Odp.: \(\displaystyle{ 0.0625}\))

4. Jest \(\displaystyle{ 17}\) dróg na wzgórze. Trzech turystów wchodzi na nie. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania prze nich różnych dróg ? (Odp.: \(\displaystyle{ 0.8304498269...}\))

[mat_61]

Treść do zadania 1) powinna być taka:

A jest zdarzeniem, polegającym na wylosowaniu trzech różnych elementów z ośmiu.

Poza tym odpowiedzi są dobre.

[mcmcjj]

Mam jeszcze pytanie co do jednego zadania. Poniżej treść.

"A - zdarzenie wylosowania \(\displaystyle{ {1,2,4}}\) ze zbioru \(\displaystyle{ {1,2,...,10}}\), ze zwracaniem. Oblicz \(\displaystyle{ P(A)}\)."

Z moich prostych obliczeń wynika, że \(\displaystyle{ P(A)= (\frac{1}{10})^{3} =0,001}\), natomiast w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 0,003}\). Czy odpowiedź jest błędna ?

[mat_61]

Jeżeli chodzi o wylosowanie \(\displaystyle{ \left( 1;2;4\right)}\) , czyli istotna jest kolejność wylosowanych liczb, to Twoja odpowiedź jest poprawna.

[mcmcjj]

Racja. Te zadania nie są zbyt precyzyjnie napisane i później są wątpliwości. Tak, założyłem, że skoro profesor nie napisał czy ważna jest kolejność, a napisał \(\displaystyle{ (1,2,4)}\), to kolejność jest ważna (ciąg). Ale widać, że się myliłem.

Mam nadzieję, że na sprawdzianie da bardziej precyzyjną treść...

[mat_61]

Być może profesor napisał \(\displaystyle{ \left( 1;2;4\right)}\) ale Ty w treści zadania napisałeś \(\displaystyle{ 1;2;4}\).

Jeżeli kolejność nie byłaby ważna, to i tak odpowiedzią nie byłoby \(\displaystyle{ P(A)=0,003}\) , bo dla trzech różnych liczb mamy \(\displaystyle{ 3!}\) możliwych uporządkowań, czyli \(\displaystyle{ |A|=6}\) i \(\displaystyle{ P(A)=0,006}\)

Odpowiedź \(\displaystyle{ P(A)=0,003}\) byłaby dla takich trzech liczb, że dwie z nich byłyby jednakowe np. \(\displaystyle{ \left\{ 2;2;4\right\}}\) wówczas \(\displaystyle{ |A|= \frac{3!}{2!}=3}\) i \(\displaystyle{ P(A)=0,003}\)