Prawdopodobienstwo geometryczne+prawdopodobeństwo klasyczne

[lukash91]

Witam, mam problem z dwoma zadankami, i prosiłbym o pomoc, naprowadzenie na tok rozumowania;)

Zadanie 1.
W kuli o promieniu R=20 jest rozmieszczonych w sposób losowy i niezależnie jeden od drugiego 10 punktów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że odległość od środka, do najbliższego punktu jest nie mniejsza od 4.

Zadanie 2.
Pan Henio ma 60 wytrychów z których tylko dwoma da się otworzyć zamek. Wytrych wybiera w sposób losowy i jeśli nie pasuje, to odkłada go na bok (tzn losuje bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo, że drzwi zostaną otwarte za piątą próbą.

Zadanie 1 nie bardzo wiem nawet jak do niego podejść, natomiast w zadaniu drugim mam pewien tok myślenia, ale nie jestem pewien czy jest dobry, a oto i on:
Podczas pierwszej próby losujemy wadliwy klucz z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{58}{60}}\) drugim razem z \(\displaystyle{ \frac{57}{59}}\) itp itd a za piątym razem \(\displaystyle{ \frac{2}{56}}\) .
Czyli wg moich rozważań
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{58}{60} \cdot \frac{57}{59} \cdot \frac{56}{58} \cdot \frac{55}{57} \cdot \frac{2}{56}= \frac{11}{354}}\)

Z góry dziękuję za wszelaką pomoc

[mat_61]

2) Jest OK.

1) Z p-stwem geometrycznym sprawa nie zawsze jest jednoznaczna, bo wszystko może zależeć od tego jak interpretujemy rozmieszczanie tych punktów (poczytaj np. o tym: ).

Dla mnie najbardziej intuicyjne jest założenie, że p-stwo rozmieszczenia dowolnego punktu w kuli o promieniu \(\displaystyle{ R=20}\) w odległości mniejszej od \(\displaystyle{ x}\) od jej środka \(\displaystyle{ S}\) jest równe stosunkowi objętości kuli o promieniu \(\displaystyle{ x}\) i środku \(\displaystyle{ S}\) do kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i środku \(\displaystyle{ S}\).

Na takiej podstawie obliczyłbym p-stwo rozmieszczenia jednego punktu dla warunków z zadania (p-stwo zdarzenia przeciwnego) a następnie skorzystał z p-stwa iloczynu zdarzeń niezależnych.

[lukash91]

dziękuję za wyjaśnienie moich wątpliwości;)