wartość oczekiwana w rozkładzie jednostajnym

[Kanodelo]

Niech X ma rozkłąd jednostajny \(\displaystyle{ U(0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ Y=\min(X,1-X)}\). Oblicz \(\displaystyle{ \mathbb{E}Y,\mathbb{E} \frac{Y}{1-Y}}\).

\(\displaystyle{ \min(X,1-X)= \begin{cases} 1-x \ dla \ x<\frac{1}{2} \\ x \ dla \ x>\frac{1}{2} \end{cases}}\)
czyli \(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=\int_{-\infty} ^{ \frac{1}{2} }x(1-x) \mbox{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{\infty}x^2 \mbox{d}x}\) ??
\(\displaystyle{ \mathbb{E} \frac{Y}{1-Y}}\) to nawet nie wiem jak policzyć...

[szw1710]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y}\) liczysz poprawnie.

Spróbuj wyrazić minimum dwóch liczb jednym wzorem. W tej chwili nie pamiętam, ale np.

\(\displaystyle{ \min\{x,0\}=\frac{x-|x|}{2}}\)

Teraz wyraź podobnie \(\displaystyle{ \min\{a,b\}.}\)

NIe wiem czy to da efekt, ale będziemy mieli przynajmniej jeden wzór na \(\displaystyle{ \frac{Y}{1-Y}.}\)

[Kanodelo]

są takie wzory:
\(\displaystyle{ \min(x,y)= \frac{x+y-|x-y|}{2} \\ \max(x,y)= \frac{x+y+|x-y|}{2}}\)

w takim razie niech \(\displaystyle{ Z= \frac{Y}{1-Y}=\frac{\min(X,1-X)}{1-\min(X,1-X)}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{X+1-X-|X-1+X|}{2} \cdot \frac{1}{1-X-1+X+|X-1+X|}= \frac{1-|2X|}{2|2X|}}\)

\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} \frac{1-2x}{4x} \ dla \ x\ge 0 \\ \frac{1+2x}{-4x} \ dla \ x<0 \end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ E(Z)= \int_{-\infty}^{0} x \frac{1+2x}{-4x}\mbox{d}x + \int_{0}^{\infty}x \frac{1-2x}{4x} \mbox{d}x=...}\)
czy tak by było poprawnie?

[szw1710]

\(\displaystyle{ 2X-1}\) pod modułem.

[Kanodelo]

No tak, oczywiście. że też ja zawsze musze się przejechać na czymś takim