Niech X ma rozkłąd jednostajny \(\displaystyle{ U(0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ Y=\min(X,1-X)}\). Oblicz \(\displaystyle{ \mathbb{E}Y,\mathbb{E} \frac{Y}{1-Y}}\).
\(\displaystyle{ \min(X,1-X)= \begin{cases} 1-x \ dla \ x<\frac{1}{2} \\ x \ dla \ x>\frac{1}{2} \end{cases}}\)
czyli \(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=\int_{-\infty} ^{ \frac{1}{2} }x(1-x) \mbox{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{\infty}x^2 \mbox{d}x}\) ??
\(\displaystyle{ \mathbb{E} \frac{Y}{1-Y}}\) to nawet nie wiem jak policzyć...
wartość oczekiwana w rozkładzie jednostajnym
wartość oczekiwana w rozkładzie jednostajnym
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y}\) liczysz poprawnie.
Spróbuj wyrazić minimum dwóch liczb jednym wzorem. W tej chwili nie pamiętam, ale np.
\(\displaystyle{ \min\{x,0\}=\frac{x-|x|}{2}}\)
Teraz wyraź podobnie \(\displaystyle{ \min\{a,b\}.}\)
NIe wiem czy to da efekt, ale będziemy mieli przynajmniej jeden wzór na \(\displaystyle{ \frac{Y}{1-Y}.}\)
Spróbuj wyrazić minimum dwóch liczb jednym wzorem. W tej chwili nie pamiętam, ale np.
\(\displaystyle{ \min\{x,0\}=\frac{x-|x|}{2}}\)
Teraz wyraź podobnie \(\displaystyle{ \min\{a,b\}.}\)
NIe wiem czy to da efekt, ale będziemy mieli przynajmniej jeden wzór na \(\displaystyle{ \frac{Y}{1-Y}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1267
- Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Malbork
- Podziękował: 419 razy
- Pomógł: 114 razy
wartość oczekiwana w rozkładzie jednostajnym
są takie wzory:
\(\displaystyle{ \min(x,y)= \frac{x+y-|x-y|}{2} \\ \max(x,y)= \frac{x+y+|x-y|}{2}}\)
w takim razie niech \(\displaystyle{ Z= \frac{Y}{1-Y}=\frac{\min(X,1-X)}{1-\min(X,1-X)}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{X+1-X-|X-1+X|}{2} \cdot \frac{1}{1-X-1+X+|X-1+X|}= \frac{1-|2X|}{2|2X|}}\)
\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} \frac{1-2x}{4x} \ dla \ x\ge 0 \\ \frac{1+2x}{-4x} \ dla \ x<0 \end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ E(Z)= \int_{-\infty}^{0} x \frac{1+2x}{-4x}\mbox{d}x + \int_{0}^{\infty}x \frac{1-2x}{4x} \mbox{d}x=...}\)
czy tak by było poprawnie?
\(\displaystyle{ \min(x,y)= \frac{x+y-|x-y|}{2} \\ \max(x,y)= \frac{x+y+|x-y|}{2}}\)
w takim razie niech \(\displaystyle{ Z= \frac{Y}{1-Y}=\frac{\min(X,1-X)}{1-\min(X,1-X)}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{X+1-X-|X-1+X|}{2} \cdot \frac{1}{1-X-1+X+|X-1+X|}= \frac{1-|2X|}{2|2X|}}\)
\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} \frac{1-2x}{4x} \ dla \ x\ge 0 \\ \frac{1+2x}{-4x} \ dla \ x<0 \end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ E(Z)= \int_{-\infty}^{0} x \frac{1+2x}{-4x}\mbox{d}x + \int_{0}^{\infty}x \frac{1-2x}{4x} \mbox{d}x=...}\)
czy tak by było poprawnie?