oblicz wartość oczekiwaną znając prawdopodobieństwo

[Kanodelo]

Niech \(\displaystyle{ P(X=2^n)=a \cdot 5^{-n}}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\) Oblicz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ E(X)}\).

Obliczyłem, że \(\displaystyle{ a=4}\) i teraz nie wiem jak obliczyć z tego wartość oczekiwaną, myślałem że można wykorzystać wzór \(\displaystyle{ E(X)=\int x f_X(x) \mbox{d}x}\), ale wtedy wychodzi mi zły wynik

[eMaerthin]

to jest rozkład dyskretny. Musisz liczyć \(\displaystyle{ E(X)}\) jako sumę. Skorzystaj z poniższego wzoru, który pewnie znasz:
\(\displaystyle{ E(X)= \sum_{i=1}^{ \infty } p_i x_i}\) po wszystkich możliwych \(\displaystyle{ x_i}\) i odpowiadających im prawdopodobieństwach \(\displaystyle{ p_i}\), czyli \(\displaystyle{ p_i=P(X=x_i)}\). W tym konkretnym przykładzie mamy:
\(\displaystyle{ E(X)= \sum_{n=1}^{ \infty } P(X=2^n) 2^n}\)